Seja n in N. Sabendo que , calcule

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a transformada de Laplace de t^2 e^t usando a propriedade Lt^n f(t)=(-1)^nd^nds^nF(s). Aqui o conteúdo é transformada de Laplace e vamos precisar do fato de que multiplicar por t^n no domínio do tempo corresponde a derivar n vezes em s no domínio de Laplace.

Passo 2

Primeiro, identificamos f(t)=e^t e sua transformada de Laplace padrão:
[F(s)=\mathcal{L}{e^t}=\frac1{s-1},\quadválido para\Re(s)>1.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade com n=2:
Lt^2e^t=(-1)^2d^2ds^2F(s)=d^2ds^2(1s-1)

Passo 4

Calculamos as derivadas:
  1. ddsl(tfrac1s-1r)=-1(s-1)^2
  2. ddsl(-1(s-1)^2r)=21(s-1)^3

Resposta

2(s-1)^3

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