Seja
um inteiro positivo fixado. O conjunto dos polinômios de grau
munido com as operações usuais é um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para ser espaço vetorial,
precisa, entre outras coisas, satisfazer:
- fechamento sob adição;
- existência do elemento neutro (polinômio zero);
- fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos testar o fechamento sob adição. Tome
Ambos têm grau exatamente
, logo
. Mas
que tem grau
e portanto não está em
. Assim o conjunto não é fechado sob soma.
Passo 3
Verificamos também a não existência do vetor zero: o polinômio nulo
não tem grau
(seu grau é
ou não definido), logo não pertence a
. Falta o elemento neutro da adição.
Passo 4
Bastou falhar um dos axiomas (fechamento na adição e presença do neutro) para concluir que
não é um espaço vetorial.
Resposta
Não, o conjunto dos polinômios de grau exatamente
não é um espaço vetorial.