Seja n um inteiro positivo fixado. O conjunto dos polinômios de grau n munido com as operações usuais é um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
P = \{\,p(x)\mid \deg p = n\}
com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para ser espaço vetorial, P precisa, entre outras coisas, satisfazer:
  1. fechamento sob adição;
  2. existência do elemento neutro (polinômio zero);
  3. fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos testar o fechamento sob adição. Tome
p(x)=x^n \quad\text{e}\quad q(x)=-x^n + x^{n-1}.
Ambos têm grau exatamente n, logo p,q\in P. Mas
p(x)+q(x)=x^{n-1},
que tem grau n-1 e portanto não está em P. Assim o conjunto não é fechado sob soma.

Passo 3

Verificamos também a não existência do vetor zero: o polinômio nulo 0(x)=0 não tem grau n (seu grau é -\infty ou não definido), logo não pertence a P. Falta o elemento neutro da adição.

Passo 4

Bastou falhar um dos axiomas (fechamento na adição e presença do neutro) para concluir que P não é um espaço vetorial.

Resposta

Não, o conjunto dos polinômios de grau exatamente n não é um espaço vetorial.

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