Sejam
um inteiro não negativo e
o conjunto de todos os polinômios de grau menor do que ou igual a
. Verificar que
é um subespaço de
, onde
é o conjunto dos polinômios com coeficientes reais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dado um inteiro não negativo
, o conjunto
é um subespaço vetorial de
, o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: verificar que (i) o polinômio zero pertence a
, (ii) a soma de dois elementos de
fica em
e (iii) o produto de um escalar real por um elemento de
fica em
.
Passo 2
Primeiro, veja que o polinômio zero, denotado por
, tem grau
ou, de modo usual, consideramos
para todo
. Logo
o que garante que
não é vazio e já satisfaz o requisito de conter o elemento neutro da adição.
Passo 3
Agora, peguemos dois polinômios quaisquer
e
em
. Por hipótese
Sabemos que, em geral,
Como
, concluímos que
Passo 4
Finalmente, tomemos um escalar
e um polinômio
. Temos
e, sabendo que multiplicar um polinômio por escalar não aumenta seu grau, obtemos
logo
Resposta
Com isso, mostramos que
contém o polinômio zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Portanto,
é de fato um subespaço vetorial de
.