Sejam n um inteiro não negativo e P_{n}(\mathbb{R}) o conjunto de todos os polinômios de grau menor do que ou igual a n. Verificar que P_{n}(\mathbb{R}) é um subespaço de P(\mathbb{R}), onde P(\mathbb{R}) é o conjunto dos polinômios com coeficientes reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dado um inteiro não negativo n, o conjunto
P_{n}(\mathbb{R}) = \{\,p(x)\in P(\mathbb{R}) \mid \deg(p)\le n\}
é um subespaço vetorial de P(\mathbb{R}), o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: verificar que (i) o polinômio zero pertence a P_{n}(\mathbb{R}), (ii) a soma de dois elementos de P_{n}(\mathbb{R}) fica em P_{n}(\mathbb{R}) e (iii) o produto de um escalar real por um elemento de P_{n}(\mathbb{R}) fica em P_{n}(\mathbb{R}).

Passo 2

Primeiro, veja que o polinômio zero, denotado por 0(x)=0, tem grau -\infty ou, de modo usual, consideramos \deg(0)\le n para todo n. Logo
0(x)\in P_{n}(\mathbb{R}),
o que garante que P_{n}(\mathbb{R}) não é vazio e já satisfaz o requisito de conter o elemento neutro da adição.

Passo 3

Agora, peguemos dois polinômios quaisquer p(x) e q(x) em P_{n}(\mathbb{R}). Por hipótese
\deg(p)\le n \quad\text{e}\quad \deg(q)\le n.
Sabemos que, em geral,
\deg\bigl(p(x)+q(x)\bigr)\;\le\;\max\{\deg(p),\,\deg(q)\}.
Como \max\{\deg(p),\deg(q)\}\le n, concluímos que
\deg\bigl(p+q\bigr)\le n \quad\Longrightarrow\quad p+q\in P_{n}(\mathbb{R}).

Passo 4

Finalmente, tomemos um escalar \alpha\in\mathbb{R} e um polinômio p(x)\in P_{n}(\mathbb{R}). Temos \deg(p)\le n e, sabendo que multiplicar um polinômio por escalar não aumenta seu grau, obtemos
\deg\bigl(\alpha\,p(x)\bigr)=\deg(p)\le n,
logo
\alpha\,p\in P_{n}(\mathbb{R}).

Resposta

Com isso, mostramos que P_{n}(\mathbb{R}) contém o polinômio zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Portanto, P_{n}(\mathbb{R}) é de fato um subespaço vetorial de P(\mathbb{R}).

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