Seja n um número inteiro positivo. Mostre que o número 2^{2^{n}}-1 tem pelo menos n fatores primos distintos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo n, o número
2^{2^{n}}-1
possui pelo menos n fatores primos distintos. O conteúdo principal que vamos usar é a fatoração em diferença de quadrados e a propriedade de coprimalidade dos chamados números de Fermat.

Passo 2

Usamos recursivamente a identidade de diferença de quadrados: para todo m\ge1,
2^{2m}-1 \;=\;\bigl(2^{m}-1\bigr)\bigl(2^{m}+1\bigr).
Aplicando isso com m=2^{n-1},2^{n-2},\dots,2^0, obtemos
2^{2^{n}}-1 =\bigl(2^{2^{n-1}}-1\bigr)\bigl(2^{2^{n-1}}+1\bigr) =\bigl(2^{2^{n-2}}-1\bigr)\bigl(2^{2^{n-2}}+1\bigr)\bigl(2^{2^{n-1}}+1\bigr) =\cdots =\prod_{i=0}^{n-1}\bigl(2^{2^{i}}+1\bigr).

Passo 3

Definimos para i=0,1,\dots,n-1 o número de Fermat
F_i = 2^{2^{i}}+1.
Portanto
2^{2^{n}}-1 \;=\; \prod_{i=0}^{n-1} F_i.
Cada F_i>1 e, portanto, tem pelo menos um divisor primo. Para concluir que existem ao menos n primos distintos, basta mostrar que os F_i são dois a dois coprimos.

Passo 4

Sejam i<j. Observe que
F_j - 2 = \bigl(2^{2^{j}}+1\bigr)-2 =2^{2^{j}}-1 =\prod_{k=0}^{j-1}F_k.
Qualquer divisor comum a F_i e F_j divide F_j-2 e também F_j, logo divide
\gcd(F_j,F_j-2)=\gcd(F_j,2).
Mas todos os F_i são ímpares, então esse máximo divisor comum é 1. Concluímos que
\gcd(F_i,F_j)=1 \quad\text{para }i\neq j.

Passo 5

Como os n fatores F_0,F_1,\dots,F_{n-1} são maiores que 1 e são coprimos dois a dois, cada um traz pelo menos um primo novo. Logo o produto \prod_{i=0}^{n-1}F_i=2^{2^n}-1 tem ao menos n fatores primos distintos.

Resposta

Mostramos que
2^{2^{n}} - 1 = \prod_{i=0}^{n-1}F_i
com os F_i coprimos dois a dois, portanto há pelo menos n primos distintos dividindo 2^{2^{n}}-1.

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