Seja
um número inteiro positivo. Mostre que o número
tem pelo menos
fatores primos distintos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo
, o número
possui pelo menos
fatores primos distintos. O conteúdo principal que vamos usar é a fatoração em diferença de quadrados e a propriedade de coprimalidade dos chamados números de Fermat.
Passo 2
Usamos recursivamente a identidade de diferença de quadrados: para todo
,
Aplicando isso com
, obtemos
Passo 3
Definimos para
o número de Fermat
Portanto
Cada
e, portanto, tem pelo menos um divisor primo. Para concluir que existem ao menos
primos distintos, basta mostrar que os
são dois a dois coprimos.
Passo 4
Sejam
. Observe que
Qualquer divisor comum a
e
divide
e também
, logo divide
Mas todos os
são ímpares, então esse máximo divisor comum é
. Concluímos que
Passo 5
Como os
fatores
são maiores que 1 e são coprimos dois a dois, cada um traz pelo menos um primo novo. Logo o produto
tem ao menos
fatores primos distintos.
Resposta
Mostramos que
com os
coprimos dois a dois, portanto há pelo menos
primos distintos dividindo
.