03 No triângulo A B C, calcule a medida da mediana relativa ao vértice A, dados A B=c, B C=a e C A=b.

Passo 1

O enunciado pede a mediana relativa ao vértice A no triângulo ABC, isto é, o segmento que sai de A e vai até o ponto médio M do lado BC. Para calcular essa mediana vamos usar o Teorema de Apollonius, que relaciona a soma dos quadrados dos dois lados com o quadrado da mediana e o quadrado do terceiro lado.

Passo 2

O Teorema de Apollonius afirma que, no triângulo ABC com mediana AM relativa a BC, vale
2\bigl(AB^{2}+AC^{2}\bigr) \;=\; 4\,AM^{2} \;+\; BC^{2}.
Aqui AM é a mediana buscada, AB=c, AC=b e BC=a.

Passo 3

Isolando AM^{2} na fórmula:
4\,AM^{2} \;=\; 2\bigl(c^{2}+b^{2}\bigr) \;-\; a^{2},
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AM^{2} \;=\;\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4} \quad\Longrightarrow\quad AM \;=\;\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}.

Resposta

m_{a}=AM=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}.

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