1 (Teorema da Bissetriz Externa) Considere um triângulo ABC com A B>A C. Suponha que a bissetriz externa do ângulo A intersecta o prolongamento do lado BC em D. Prove que
\frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{CD}}}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AC}}} .

Passo 1

O enunciado é o Teorema da bissetriz externa: em um triângulo ABC com \overline{AB}>\overline{AC}, a bissetriz externa de \angle A encontra o prolongamento de BC em D. Precisamos provar que
\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}.
Para isso, vamos usar o fato de que a bissetriz externa faz \angle BAD = \angle DAC e aplicar a Lei dos Senos em dois triângulos.

Passo 2

Observe que, por definição de bissetriz externa em A, temos
\angle BAD \;=\;\angle DAC.
Além disso, como B, C e D são colineares, os ângulos suplementares a \angle ABD e \angle ACD somam 180^\circ. Logo,
\angle ABD + \angle ACD = 180^\circ \qquad\Longrightarrow\qquad \sin\bigl(\angle ABD\bigr) = \sin\bigl(\angle ACD\bigr).

Passo 3

Aplique a Lei dos Senos em \triangle ABD:
\frac{\overline{BD}}{\sin\!\bigl(\angle BAD\bigr)} =\frac{\overline{AB}}{\sin\!\bigl(\angle ABD\bigr)}.
E em \triangle ADC:
\frac{\overline{CD}}{\sin\!\bigl(\angle DAC\bigr)} =\frac{\overline{AC}}{\sin\!\bigl(\angle ACD\bigr)}.

Passo 4

Dividindo a primeira relação pela segunda, vem
\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}} =\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \;\times\; \frac{\sin(\angle BAD)}{\sin(\angle DAC)} \;\times\; \frac{\sin(\angle ACD)}{\sin(\angle ABD)}.
Mas \sin(\angle BAD)=\sin(\angle DAC) e \sin(\angle ACD)=\sin(\angle ABD). Portanto
\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}} =\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}.

Resposta

\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}.

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