Seja
um número inteiro positivo. Prove que
e
deixam o mesmo resto quando divididos por
se, e somente se,
para algum inteiro
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um inteiro positivo
, os inteiros
e
têm o mesmo resto na divisão por
exatamente quando existe um inteiro
tal que
O que vamos usar é o teorema da divisão euclidiana, que garante que, dado um inteiro e um divisor positivo, podemos escrever o inteiro como quociente vezes divisor mais resto.
Passo 2
(“Se” – implicação direta)
Suponha que e
deixam o mesmo resto
na divisão por
. Então existem quocientes
tais que
Suponha que
com
. Subtraindo estas duas expressões, vem
Basta então tomar
, que é inteiro, para obter
.
Passo 3
(“Somente se” – implicação inversa)
Agora suponha que exista tal que
Agora suponha que exista
Pela divisão euclidiana, escrevemos
com
e
. Então
Isso mostra que, ao dividir
por
, o resto também é
. Logo
e
deixam o mesmo resto.
Resposta
Está provado que
e
têm o mesmo resto na divisão por
se, e somente se,
para algum inteiro
.