Seja n um número inteiro positivo. Prove que a e c deixam o mesmo resto quando divididos por n se, e somente se, a-c=n k para algum inteiro k.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um inteiro positivo n, os inteiros a e c têm o mesmo resto na divisão por n exatamente quando existe um inteiro k tal que
a - c = n\,k.
O que vamos usar é o teorema da divisão euclidiana, que garante que, dado um inteiro e um divisor positivo, podemos escrever o inteiro como quociente vezes divisor mais resto.

Passo 2

(“Se” – implicação direta)
Suponha que a e c deixam o mesmo resto r na divisão por n. Então existem quocientes q_{1},q_{2}\in\mathbb{Z} tais que
a = q_{1}n + r,
c = q_{2}n + r,
com 0 \le r < n. Subtraindo estas duas expressões, vem
a - c = (q_{1}n + r) - (q_{2}n + r) = (q_{1} - q_{2})\,n.
Basta então tomar k = q_{1} - q_{2}, que é inteiro, para obter a - c = n\,k.

Passo 3

(“Somente se” – implicação inversa)
Agora suponha que exista k\in\mathbb{Z} tal que
a - c = n\,k.
Pela divisão euclidiana, escrevemos
c = q\,n + r,
com q\in\mathbb{Z} e 0 \le r < n. Então
a = c + n\,k = (q\,n + r) + n\,k = (q + k)\,n + r.
Isso mostra que, ao dividir a por n, o resto também é r. Logo a e c deixam o mesmo resto.

Resposta

Está provado que a e c têm o mesmo resto na divisão por n se, e somente se, a - c = n\,k para algum inteiro k.

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