Seja A=[ai j] uma matriz n times n. Em cada caso, determine se A é simétrica:
ai j=i^2-j^2.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=[aij] de ordem n com
aij=i^2-j^2,
e pede para verificar se A é simétrica. Lembrando que uma matriz é simétrica se, e somente se,
aij=aji forall,i,j

Passo 2

Vamos calcular explicitamente aji. Pela definição,
aji=j^2-i^2
Reescrevendo,
aji=-(i^2-j^2)=-,aij

Passo 3

Para que A fosse simétrica precisaríamos de
aji=aij
Mas encontramos
aji=-aij,
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aij=-aijLongrightarrow 2,aij=0Longrightarrow aij=0
E aij=0 só ocorre quando i^2=j^2, ou seja, i=j. Para ineq j temos aijneq aji.

Passo 4

Concluímos que A não satisfaz aij=aji para ineq j, então não é simétrica. Observação adicional: como aii=i^2-i^2=0 e aji=-aij, a matriz é na verdade antissimétrica (skew-symmetric).

Resposta

A matriz A não é simétrica (mas é antissimétrica, pois A^T=-A).

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