Seja A=[ai j] uma matriz n times n. Em cada caso, determine se A é simétrica:
ai j=2 i^2+2 j^3.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=(aij) de ordem n em que
aij = 2,i^2 + 2,j^3
Queremos verificar se A é simétrica, isto é, se vale
aij = aji para todo i,j=1,2,dots,n

Passo 2

Escrevendo a condição aij=aji para esta matriz, temos
2,i^2 + 2,j^3 = 2,j^2 + 2,i^3
Dividindo ambos os lados por 2 e reorganizando, fica
i^2 + j^3 = j^2 + i^3 Long<=ftrightarrow j^3 - j^2 = i^3 - i^2

Passo 3

A igualdade j^3 - j^2 = i^3 - i^2 deve valer para quaisquer i e j em 1,2,dots,n. Mas a função
f(x) = x^3 - x^2 = x^2(x-1)
não é constante para x>=1. Logo só se puder ter f(i)=f(j) para todo par (i,j) se necessariamente i=j. Em particular, se n>1 podemos escolher ineq j e obter
f(i)neq f(j),
ou seja aijneq aji.

Resposta

A matriz A não é simétrica, exceto no caso trivial n=1, em que só existe i=j=1.

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