Seja X uma v.a. Normal, com Assimetria=0; Excesso de Curtose = 0; Média = 2; Mediana = 2 e Variancia = 2. Dado P(0,50<=X <=\mathrm{x})=70 \%. Qual o valor de x ?

Passo 1

O enunciado define X\sim N(\mu=2,\sigma^{2}=2) e pede encontrar x tal que
P\bigl(0,50 \le X \le x\bigr) = 0,70.
Para isso vamos usar a padronização em Z\sim N(0,1), isto é, Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.

Passo 2

Calculamos a probabilidade acumulada até o ponto inferior 0,50. Primeiro o escore-z:
z_{0} = \frac{0,50 - 2}{\sqrt{2}} = \frac{-1,50}{\sqrt{2}} \approx -1,0607.
Então
F_X(0,50) = P(X \le 0,50) = \Phi(z_{0}) \approx \Phi(-1,0607) \approx 0,1446,
onde \Phi é a função de distribuição acumulada de Z.

Passo 3

Queremos
P(0,50 \le X \le x) = F_X(x) - F_X(0,50) = 0,70.
Logo
F_X(x) = 0,70 + F_X(0,50) \approx 0,70 + 0,1446 = 0,8446.

Passo 4

Agora obtemos o escore-z correspondente a essa probabilidade:
\Phi(z_x) = 0,8446 \quad\Longrightarrow\quad z_x = \Phi^{-1}(0,8446) \approx 1,015.

Passo 5

Voltando à escala de X:
x = \mu + \sigma\,z_x = 2 + \sqrt{2}\times 1,015 \approx 2 + 1,4142\times1,015 \approx 3,435.

Resposta

x \approx 3,44

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