Sejam 18 cronometragens de uma certa tarefa, de média 100 minutos e desvio-padrão de 15 minutos. A variância da população é desconhecida. Calcule um intervalo de confiança bilateral para a média com 90 \% de confiança e responda qual é o comprimento total deste intervalo.

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra de tamanho n=18 com média amostral \bar{x}=100 min e desvio-padrão amostral s=15 min. A variância populacional é desconhecida, então vamos usar o intervalo de confiança baseado na distribuição de Student com n-1=17 graus de liberdade.

Passo 2

Para um intervalo bilateral de 90\% de confiança, o nível de significância é \alpha=0,10 e cada cauda usa \alpha/2=0,05. O valor crítico de Student é
t_{17,\,0,05}\approx 1,740.

Passo 3

Calculamos o erro padrão da média (standard error), dado por
\mathrm{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{18}} \approx 3,54\\ \text{min}.

Passo 4

A margem de erro do intervalo é
E = t_{17,\,0,05}\,\times\,\mathrm{SE} = 1{,}740 \times 3{,}54 \approx 6{,}15\\ \text{min}.

Passo 5

O intervalo de confiança a 90\% para a média é
\bar{x}\pm E = 100 \pm 6{,}15 = [93{,}85,\;106{,}15]\\ \text{min},
e o comprimento total desse intervalo é
L = 2E \approx 2 \times 6{,}15 = 12{,}30\\ \text{min}.

Resposta

O comprimento total do intervalo de confiança é aproximadamente 12{,}30 minutos.

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