Seja em e a um número arbitrário. Mostre que o conjunto é .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é linearmente independente em . O conteúdo é álgebra linear em espaço de polinômios, e vamos usar o fato de que um polinômio é identicamente zero se, e somente se, todos os seus coeficientes forem zero, bem como avaliar derivadas em .
Passo 2
Suponha, por contradição, que exista combinação linear não trivial nula, isto é, coeficientes , não todos zero, tais que
para todo . Defina o polinômio
Como essa soma é igual a zero para todo , é o polinômio nulo.
Passo 3
Avalie em . Como para k>=1, resta
f(a)=c0 = 0
Logo c0=0.
Passo 4
Calcule a derivada de f:
f'(t) = sumk=1^n ck,k,(t-a)^k-1
Avaliando em t=a anula todos os termos com (t-a)^k-1 para k>=2, sobrando