Seja L=1,(t-a),(t-a)^2, ldots,(t-a)^n em Pn-1(R) e a um número arbitrário. Mostre que o conjunto L é L I.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
L = 1,,(t-a),,(t-a)^2,ldots,(t-a)^n
é linearmente independente em Pn(R). O conteúdo é álgebra linear em espaço de polinômios, e vamos usar o fato de que um polinômio é identicamente zero se, e somente se, todos os seus coeficientes forem zero, bem como avaliar derivadas em t=a.

Passo 2

Suponha, por contradição, que exista combinação linear não trivial nula, isto é, coeficientes c0,c1,dots,cninR, não todos zero, tais que
sumk=0^n ck,(t-a)^k = 0
para todo t. Defina o polinômio
f(t) = sumk=0^n ck,(t-a)^k
Como essa soma é igual a zero para todo t, f é o polinômio nulo.

Passo 3

Avalie f em t=a. Como (t-a)^k|t=a=0 para k>=1, resta
f(a)=c0 = 0
Logo c0=0.

Passo 4

Calcule a derivada de f:
f'(t) = sumk=1^n ck,k,(t-a)^k-1
Avaliando em t=a anula todos os termos com (t-a)^k-1 para k>=2, sobrando
f'(a) = c1cdot1 = c1 = 0

Passo 5

De modo geral, a k-ésima derivada é
f^(k)(t) =sumj=k^n cj,j(j-1)cdots(j-k+1),(t-a)^,j-k,
e em t=a os termos com j>k se anulam, ficando
f^(k)(a) = ck,k!
Mas f é nulo, então f^(k)(a)=0, logo ck=0 para todo k=0,1,dots,n.

Resposta

O conjunto L é linearmente independente.

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