Seja o número inteiro A B, no qual A e B são os algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. Invertendo-se a posição dos algarismos A e B, obtém-se um número que excede A B em 27 unidades. Se A+B é um quadrado perfeito, qual o valor de B ?

Passo 1

O enunciado nos dá um número de dois dígitos formado pelos algarismos A (dezena) e B (unidade). Invertendo esses algarismos obtém-se um novo número que excede o original em 27 unidades. Além disso, sabemos que A+B é um quadrado perfeito. O conteúdo necessário envolve a representação de números de dois dígitos, resolução de uma equação simples e identificação de quadrados perfeitos.

Passo 2

Chamando o número original de AB=10A+B e o invertido de BA=10B+A, a condição “invertido excede o original em 27” dá
10B + A ;-;(10A + B);=;27
Logo,
9(B - A) = 27 Longrightarrow B - A = 3

Passo 3

Daí B = A + 3. Como A é dígito de dezena (logo 1<= A<=9) e B<=9, segue A<=6. Assim, os pares (A,B) possíveis são
(1,4),,(2,5),,(3,6),,(4,7),,(5,8),,(6,9)

Passo 4

Queremos que
A + B = A + (A + 3) = 2A + 3
seja um quadrado perfeito. Testando A=1,dots,6:
  • A=1 Rightarrow 2 cdot 1 + 3 = 5 (não é quadrado)
  • A=2 Rightarrow 7
  • A=3 Rightarrow 9
  • A=4 Rightarrow 11
  • A=5 Rightarrow 13
  • A=6 Rightarrow 15
O único valor que é quadrado perfeito é 9, obtido em A=3.

Resposta

B = 6

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