Seja o número inteiro , no qual e são os algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. Invertendo-se a posição dos algarismos e , obtém-se um número que excede em 27 unidades. Se é um quadrado perfeito, qual o valor de ?
Passo 1
O enunciado nos dá um número de dois dígitos formado pelos algarismos (dezena) e (unidade). Invertendo esses algarismos obtém-se um novo número que excede o original em unidades. Além disso, sabemos que é um quadrado perfeito. O conteúdo necessário envolve a representação de números de dois dígitos, resolução de uma equação simples e identificação de quadrados perfeitos.
Passo 2
Chamando o número original de e o invertido de BA=10B+A, a condição “invertido excede o original em 27” dá
10B + A ;-;(10A + B);=;27
Logo,
9(B - A) = 27 Longrightarrow B - A = 3
Passo 3
Daí B = A + 3. Como A é dígito de dezena (logo 1<= A<=9) e B<=9, segue A<=6. Assim, os pares (A,B) possíveis são
(1,4),,(2,5),,(3,6),,(4,7),,(5,8),,(6,9)
Passo 4
Queremos que
A + B = A + (A + 3) = 2A + 3
seja um quadrado perfeito. Testando A=1,dots,6:
A=1 Rightarrow 2 cdot 1 + 3 = 5 (não é quadrado)
A=2 Rightarrow 7
A=3 Rightarrow 9
A=4 Rightarrow 11
A=5 Rightarrow 13
A=6 Rightarrow 15
O único valor que é quadrado perfeito é 9, obtido em A=3.