Utilize as propriedades apresentadas para o cálculo de limites e determine:
lim h 0 raiz[3]x+h-raiz[3]xh.

Passo 1

O enunciado pede
limhto 0raiz[3]x+h-raiz[3]xh,
que é a definição de derivada da função f(x)=raiz[3]x no ponto x. Vamos usar racionalização do numerador e as propriedades básicas de limites.

Passo 2

Aplicamos a identidade (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 com a=raiz[3]x+h e b=raiz[3]x, multiplicando numerador e denominador pela soma dos termos conjugados:
raiz[3]x+h-raiz[3]xh =raiz[3]x+h-raiz[3]xh cdot (raiz[3]x+h)^2+raiz[3]x+h,raiz[3]x+(raiz[3]x)^2 (raiz[3]x+h)^2+raiz[3]x+h,raiz[3]x+(raiz[3]x)^2

Passo 3

No numerador aparece
(raiz[3]x+h-raiz[3]x)l((raiz[3]x+h)^2+raiz[3]x+hraiz[3]x+(raiz[3]x)^2r) =(raiz[3]x+h)^3-(raiz[3]x)^3 =(x+h)-x =h

Passo 4

Logo a expressão fica
hhl((raiz[3]x+h)^2+raiz[3]x+hraiz[3]x+(raiz[3]x)^2r) =1(raiz[3]x+h)^2+raiz[3]x+hraiz[3]x+(raiz[3]x)^2

Passo 5

Ao fazer hto0 temos raiz[3]x+htoraiz[3]x, então o denominador tende a
(raiz[3]x)^2+raiz[3]xraiz[3]x+(raiz[3]x)^2 =3(raiz[3]x)^2 =3x^2/3
Portanto o limite vale
13x^2/3

Resposta

13x^2/3

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