Em todos os problemas, considere sempre que S e S^{\prime} são dois referenciais em configuração padrão, conforme definido nas aulas.
Considerando as definições do problema 1, defina agora o tetravetor aceleração como a derivada da velocidade U em relação ao tempo próprio, ou seja, A=d U / d \tau. Mostre que:
A=\gamma(u)\left(c \frac{d \gamma(u)}{d t}, \frac{d \gamma(u)}{d t} \vec{u}+\gamma(u) \vec{a}\right)
onde \vec{a} é a aceleração (3D) medida no referencial S , e onde
\frac{d \gamma(u)}{d t}=\gamma^{3}(u) \frac{\vec{u} \cdot \vec{a}}{c^{2}} .
Mostre também que, no referencial instantâneo de repouso, temos A=(0, \vec{a}).

Passo 1

O enunciado define o tetravetor velocidade
U=\gamma(u)\bigl(c,\vec u\bigr)
e pede o tetravetor aceleração
A=\frac{dU}{d\tau}
mostrando que
A=\gamma(u)\Bigl(c\,\frac{d\gamma(u)}{dt},\;\frac{d\gamma(u)}{dt}\,\vec u+\gamma(u)\,\vec a\Bigr)
com
\frac{d\gamma(u)}{dt}=\gamma^3(u)\,\frac{\vec u\cdot\vec a}{c^2}
e que, no referencial de repouso instantâneo,
A=(0,\vec a)\,.

Passo 2

Para converter derivada em \tau em derivada em t usamos
\frac{d}{d\tau}=\frac{dt}{d\tau}\,\frac{d}{dt}=\gamma(u)\,\frac{d}{dt}\,,
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A=\frac{dU}{d\tau}=\gamma(u)\,\frac{dU}{dt}\,.

Passo 3

Calculamos \gamma(u)=(1-\frac{u^2}{c^2})^{-1/2}.
Derivando em relação a t:
\frac{d\gamma}{dt} =\frac12\bigl(1-\tfrac{u^2}{c^2}\bigr)^{-3/2} \cdot\bigl(-2\,\tfrac{\vec u\cdot\vec a}{c^2}\bigr) =\gamma^3(u)\,\frac{\vec u\cdot\vec a}{c^2}\,.

Passo 4

Agora derivamos os componentes de U em t:
\frac{d}{dt}\bigl[\gamma(u)\,c\bigr] =c\,\frac{d\gamma}{dt}, \qquad \frac{d}{dt}\bigl[\gamma(u)\,\vec u\bigr] =\vec u\,\frac{d\gamma}{dt}+\gamma(u)\,\vec a\,.

Passo 5

Multiplicando por \gamma(u) para obter A:
A=\gamma(u)\Bigl(c\,\frac{d\gamma}{dt},\, \vec u\,\frac{d\gamma}{dt}+\gamma(u)\,\vec a\Bigr),
que é a forma pedida, com \displaystyle\frac{d\gamma}{dt}=\gamma^3(u)\,\frac{\vec u\cdot\vec a}{c^2}.

Passo 6

No referencial instantâneo de repouso temos \vec u=0\implies\gamma=1 e \frac{d\gamma}{dt}=0. Assim
A=(1)\bigl(c\cdot0,\;0\cdot\vec0+1\cdot\vec a\bigr)=(0,\vec a)\,.

Resposta

A=\gamma(u)\Bigl(c\,\frac{d\gamma(u)}{dt},\;\frac{d\gamma(u)}{dt}\,\vec u+\gamma(u)\,\vec a\Bigr), \quad \frac{d\gamma(u)}{dt}=\gamma^3(u)\,\frac{\vec u\cdot\vec a}{c^2},
e, no referencial instantâneo de repouso,
A=(0,\vec a)\,.

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