Em todos os problemas, considere sempre que
e
são dois referenciais em configuração padrão, conforme definido nas aulas.
- O tetravetor momento é dado por
. Definimos o vetor tetravelocidade como a derivada da posição
de uma partícula em relação ao seu tempo próprio
.
a) Lembrando que
mostre que
onde
é a velocidade (3D) da partícula em relação ao referencial
.
b) Considere agora um partícula com tetravetor momento
e tetravelocidade
, observada por um observador S . Prove que a energia de repouso da partícula é o produto escalar
.
a) Lembrando que
b) Considere agora um partícula com tetravetor momento
Passo 1
Resumindo o enunciado, estamos em relatividade restrita com dois referenciais em configuração padrão. A partícula descreve uma linha de mundo
e o tempo próprio satisfaz
Definimos a tetravelocidade
e o tetravetor momento
(a) Queremos mostrar que
(b) Provar que o produto escalar
é justamente a energia de repouso
. Vamos usar também as fórmulas
Passo 2
Calculemos diretamente as componentes de
:
Como
e
, segue
o que conclui a parte (a).
Passo 3
Para (b), adotamos a métrica de Minkowski
e escrevemos
Substituindo
,
,
e
, temos
Passo 4
Agora usamos
Então
Logo
que é exatamente a energia de repouso da partícula.
Resposta
a)
.
b) , ou seja, o produto escalar entre o tetravetor momento e a tetravelocidade é a energia de repouso.
b)