Em todos os problemas, considere sempre que S e S^{\prime} são dois referenciais em configuração padrão, conforme definido nas aulas.
  • O tetravetor momento é dado por P=(E / c, \vec{p}). Definimos o vetor tetravelocidade como a derivada da posição X=(c t, \vec{r}) de uma partícula em relação ao seu tempo próprio \tau.
    a) Lembrando que d \tau=d t / \gamma mostre que
U=\frac{d X}{d \tau}=\gamma(u)(c, \vec{u})
onde \vec{u} é a velocidade (3D) da partícula em relação ao referencial S.
b) Considere agora um partícula com tetravetor momento P e tetravelocidade U, observada por um observador S . Prove que a energia de repouso da partícula é o produto escalar P \cdot U.

Passo 1

Resumindo o enunciado, estamos em relatividade restrita com dois referenciais em configuração padrão. A partícula descreve uma linha de mundo
X=(c\,t,\;\vec r)\,,
e o tempo próprio satisfaz
d\tau=\frac{dt}{\gamma(u)},\quad\gamma(u)=\frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{u^2}{c^2}}}.
Definimos a tetravelocidade
U=\frac{dX}{d\tau}
e o tetravetor momento
P=\Bigl(\frac{E}{c},\,\vec p\Bigr).
(a) Queremos mostrar que
U=\gamma(u)\,(c,\;\vec u).
(b) Provar que o produto escalar
P\cdot U
é justamente a energia de repouso m\,c^2. Vamos usar também as fórmulas
E=\gamma(u)\,m\,c^2, \qquad \vec p=\gamma(u)\,m\,\vec u.

Passo 2

Calculemos diretamente as componentes de U:
U=\frac{dX}{d\tau} =\Bigl(\frac{d(c\,t)}{d\tau},\,\frac{d\vec r}{d\tau}\Bigr) =\Bigl(c\,\frac{dt}{d\tau},\,\frac{d\vec r}{dt}\,\frac{dt}{d\tau}\Bigr).
Como dt/d\tau=\gamma(u) e d\vec r/dt=\vec u, segue
U=\bigl(\gamma(u)\,c,\;\gamma(u)\,\vec u\bigr) =\gamma(u)\,(c,\;\vec u),
o que conclui a parte (a).

Passo 3

Para (b), adotamos a métrica de Minkowski \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1) e escrevemos
P\cdot U =\eta_{\mu\nu}\,P^\mu\,U^\nu =P^0\,U^0-\vec P\cdot\vec U.
Substituindo P^0=E/c, U^0=\gamma(u)\,c, \vec P=\vec p e \vec U=\gamma(u)\,\vec u, temos
P\cdot U =\frac{E}{c}\,\bigl(\gamma(u)\,c\bigr)\;-\;\vec p\cdot\bigl(\gamma(u)\,\vec u\bigr) =\gamma(u)\,\bigl(E-\vec p\cdot\vec u\bigr).

Passo 4

Agora usamos
E=\gamma(u)\,m\,c^2, \qquad \vec p=\gamma(u)\,m\,\vec u.
Então
E-\vec p\cdot\vec u =\gamma\,m\,c^2-\gamma\,m\,(\vec u\cdot\vec u) =\gamma\,m\,(c^2-u^2) =\gamma\,m\,\frac{c^2}{\gamma^2} =\frac{m\,c^2}{\gamma}.
Logo
P\cdot U =\gamma\,\frac{m\,c^2}{\gamma} =m\,c^2,
que é exatamente a energia de repouso da partícula.

Resposta

a) \;U=\gamma(u)\,(c,\;\vec u).
b) \;P\cdot U=m\,c^2, ou seja, o produto escalar entre o tetravetor momento e a tetravelocidade é a energia de repouso.

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