Seja
um conjunto abstrato e seja
uma
-álgebra de subconjuntos de
. Mostre que:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta para a gente mostrar que, em uma
-álgebra
sobre um conjunto
, tanto o conjunto vazio
quanto o próprio conjunto
estão dentro da
-álgebra. A matéria aqui é teoria de conjuntos, especificamente sobre
-álgebras. Para resolver isso, vamos usar a definição de
-álgebra e verificar se essas duas condições são atendidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma
-álgebra. Uma
-álgebra
sobre um conjunto
é uma coleção de subconjuntos de
que satisfaz três propriedades:
- O conjunto vazio está em
. - Se um conjunto está em
, então seu complemento também está em . - Qualquer união contável de conjuntos em
também está em .
Passo 3
Agora, olhando para a primeira propriedade da
-álgebra, ela já nos diz que o conjunto vazio
está em
. Então, essa parte já está garantida pela definição. Não precisamos fazer mais nada para essa parte.
Passo 4
Para mostrar que o próprio conjunto
está em
, vamos usar a segunda propriedade da
-álgebra, que fala sobre complementos. Se considerarmos o complemento do conjunto vazio, que é exatamente
, e já sabemos que o conjunto vazio está em
, então o complemento dele também deve estar em
. Ou seja,
.
Resposta
Portanto, mostramos que
e
.