Seja Omega um conjunto abstrato e seja A uma sigma-álgebra de subconjuntos de Omega. Mostre que:
emptyset in A e Omega in A

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta para a gente mostrar que, em uma sigma-álgebra A sobre um conjunto Omega, tanto o conjunto vazio emptyset quanto o próprio conjunto Omega estão dentro da sigma-álgebra. A matéria aqui é teoria de conjuntos, especificamente sobre sigma-álgebras. Para resolver isso, vamos usar a definição de sigma-álgebra e verificar se essas duas condições são atendidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sigma-álgebra. Uma sigma-álgebra A sobre um conjunto Omega é uma coleção de subconjuntos de Omega que satisfaz três propriedades:
  1. O conjunto vazio está em A.
  2. Se um conjunto está em A, então seu complemento também está em A.
  3. Qualquer união contável de conjuntos em A também está em A.

Passo 3

Agora, olhando para a primeira propriedade da sigma-álgebra, ela já nos diz que o conjunto vazio emptyset está em A. Então, essa parte já está garantida pela definição. Não precisamos fazer mais nada para essa parte.

Passo 4

Para mostrar que o próprio conjunto Omega está em A, vamos usar a segunda propriedade da sigma-álgebra, que fala sobre complementos. Se considerarmos o complemento do conjunto vazio, que é exatamente Omega, e já sabemos que o conjunto vazio está em A, então o complemento dele também deve estar em A. Ou seja, Omega in A.

Resposta

Portanto, mostramos que emptyset in A e Omega in A.

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