Seja \Omega um elipsóide com vetor normal direcionado para fora. Seja \vec{F}=F_{1} \vec{i}+F_{2} \vec{j}+F_{3} \vec{k} um campo vetorial cujas componentes F_{1}, F_{2}, F_{3} tem derivadas parciais contínuas em \Omega. Mostre que \int_{\Omega}(\nabla \times \vec{F}) \cdot d \vec{S}=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial sobre um elipsóide fechado \Omega (com vetor normal apontando para fora) é zero, ou seja,
\int_{\Omega}(\nabla\times \vec F)\cdot d\vec S = 0.
O que vamos usar é o Teorema da Divergência (Gauss) e a identidade vetorial
\nabla\cdot(\nabla\times\vec F)=0,
válida sempre que as derivadas parciais de \vec F são contínuas.

Passo 2

Mostramos que o divergente do rotacional de \vec F é nulo. De fato, escrevendo em coordenadas cartesianas,
\nabla\cdot(\nabla\times\vec F) =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr).
Como as derivadas parciais de F_1,F_2,F_3 são contínuas, cada termo aparece duas vezes com sinais opostos, de modo que
\nabla\cdot(\nabla\times\vec F)=0.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, para o campo vetorial \nabla\times\vec F temos
\int_{\Omega}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S =\int_{V}\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\vec F\bigr)\,dV,
onde V é o interior do elipsóide e \Omega=\partial V sua superfície.

Passo 4

Substituindo a identidade do Passo 2 no lado direito, obtemos
\int_{V}\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\vec F\bigr)\,dV =\int_{V}0\,dV =0.
Portanto
\int_{\Omega}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S=0.

Resposta

0

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