Seja
um elipsóide com vetor normal direcionado para fora. Seja
um campo vetorial cujas componentes
tem derivadas parciais contínuas em
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial sobre um elipsóide fechado
(com vetor normal apontando para fora) é zero, ou seja,
O que vamos usar é o Teorema da Divergência (Gauss) e a identidade vetorial
válida sempre que as derivadas parciais de
são contínuas.
Passo 2
Mostramos que o divergente do rotacional de
é nulo. De fato, escrevendo em coordenadas cartesianas,
Como as derivadas parciais de
são contínuas, cada termo aparece duas vezes com sinais opostos, de modo que
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, para o campo vetorial
temos
onde
é o interior do elipsóide e
sua superfície.
Passo 4
Substituindo a identidade do Passo 2 no lado direito, obtemos
Portanto