Use teorema de Stokes para calcular
\int_{\Omega}(\nabla \times \vec{F}) \cdot d \vec{S}
\vec{F}=x z^{2} \vec{i}+x^{3} \vec{j}+\cos x z \vec{k}
onde
\Omega
é parte do elipsóide
x{2}+y{2}+3 z^{2}=1
abaixo do plano
xy . \Omega
tem vetor normal apontando para fora.
\int_{\Omega}(\nabla \times \vec{F}) \cdot d \vec{S}
\vec{F}=x z^{2} \vec{i}+x^{3} \vec{j}+\cos x z \vec{k}
onde
\Omega
é parte do elipsóide
x{2}+y{2}+3 z^{2}=1
abaixo do plano
xy . \Omega
tem vetor normal apontando para fora.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de vetores
e a superfície
, que é a parte do elipsóide
abaixo do plano
, com vetor normal apontando para fora do elipsóide.
Queremos calcular
Queremos calcular
Pelo Teorema de Stokes, isso equivale ao integral de linha de
ao longo da fronteira
:
Passo 2
A fronteira
é a interseção do elipsóide com o plano
. Logo
ou seja, o círculo de raio
no plano
.
Passo 3
Precisamos escolher a orientação de
compatível com o normal externo de
. No contorno, o normal do elipsóide aponta para baixo (componente negativa em
), de modo que, visto de cima (
), o sentido de percurso deve ser horário. Uma parametrização conveniente é
com
Passo 4
Sobre
temos
, então
Como
, fica
O produto escalar com
é
Passo 5
Portanto o integral de linha é
Usando
e sabendo que
para todo inteiro
, obtemos
Logo
Pelo Teorema de Stokes essa é exatamente a integral desejada sobre
.