Use teorema de Stokes para calcular
\int_{\Omega}(\nabla \times \vec{F}) \cdot d \vec{S}
\vec{F}=x z^{2} \vec{i}+x^{3} \vec{j}+\cos x z \vec{k}
onde
\Omega
é parte do elipsóide
x{2}+y{2}+3 z^{2}=1
abaixo do plano
xy . \Omega
tem vetor normal apontando para fora.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de vetores
\vec F(x,y,z)=x\,z^{2}\,\mathbf i + x^{3}\,\mathbf j + \cos(xz)\,\mathbf k
e a superfície \Omega, que é a parte do elipsóide
x^{2}+y^{2}+3z^{2}=1
abaixo do plano z=0, com vetor normal apontando para fora do elipsóide.
Queremos calcular
\int_{\Omega}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S.
Pelo Teorema de Stokes, isso equivale ao integral de linha de \vec F ao longo da fronteira \partial\Omega:
\int_{\Omega}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S =\oint_{\partial\Omega}\vec F\cdot d\vec r.

Passo 2

A fronteira \partial\Omega é a interseção do elipsóide com o plano z=0. Logo
x^{2}+y^{2}=1,\quad z=0,
ou seja, o círculo de raio 1 no plano xy.

Passo 3

Precisamos escolher a orientação de \partial\Omega compatível com o normal externo de \Omega. No contorno, o normal do elipsóide aponta para baixo (componente negativa em z), de modo que, visto de cima ( +z), o sentido de percurso deve ser horário. Uma parametrização conveniente é
\vec r(t)=(\cos t,\,-\sin t,\,0),\quad 0\le t\le 2\pi,
com
d\vec r=(-\sin t,\,-\cos t,\,0)\,dt.

Passo 4

Sobre \partial\Omega temos z=0, então
\vec F(x,y,0)=(x\cdot0^{2},\,x^{3},\,\cos(x\cdot0)) =(0,\,x^{3},\,1).
Como x=\cos t, fica
\vec F(\vec r(t))=(0,\cos^{3}t,1).
O produto escalar com d\vec r é
\vec F\cdot d\vec r =(0,\cos^{3}t,1)\cdot(-\sin t,-\cos t,0)\,dt =-\cos^{3}t\cos t\,dt =-\cos^{4}t\,dt.

Passo 5

Portanto o integral de linha é
\oint_{\partial\Omega}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}-\cos^{4}t\,dt =-\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}t\,dt.
Usando
\cos^{4}t =\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{2}\cos2t+\tfrac{1}{8}\cos4t
e sabendo que \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos(kt)\,dt=0 para todo inteiro k\neq0, obtemos
\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}t\,dt =2\pi\cdot\tfrac{3}{8} =\tfrac{3\pi}{4}.
Logo
\oint_{\partial\Omega}\vec F\cdot d\vec r =-\tfrac{3\pi}{4}.
Pelo Teorema de Stokes essa é exatamente a integral desejada sobre \Omega.

Resposta

-\frac{3\pi}{4}.

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