Suponha que
é uma superfície orientada com borda
. Seja
um campo vetorial constante definido em
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma superfície orientada
com borda
e um campo vetorial constante
definido em
, temos
O conteúdo é o Teorema de Stokes, que relaciona o integral de linha de um campo vetorial ao integral de superfície do rotacional desse campo.
Passo 2
Pelo Teorema de Stokes, a integral de linha de
ao longo da borda
de
satisfaz
onde
é o vetor normal orientado de
.
Passo 3
Como
é constante, todas as suas derivadas parciais são zero. Logo,
Passo 4
Substituindo
no integral de superfície, obtemos