Suponha que \Omega é uma superfície orientada com borda \gamma. Seja \vec{F} um campo vetorial constante definido em \Omega. Mostre que \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma superfície orientada \Omega com borda \gamma e um campo vetorial constante \vec{F} definido em \Omega, temos
\int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0.
O conteúdo é o Teorema de Stokes, que relaciona o integral de linha de um campo vetorial ao integral de superfície do rotacional desse campo.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes, a integral de linha de \vec{F} ao longo da borda \gamma de \Omega satisfaz
\int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_{\Omega} \bigl(\nabla\times \vec{F}\bigr)\cdot \vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é o vetor normal orientado de \Omega.

Passo 3

Como \vec{F} é constante, todas as suas derivadas parciais são zero. Logo,
\nabla\times \vec{F} = \vec{0}.

Passo 4

Substituindo \nabla\times \vec{F} = \vec{0} no integral de superfície, obtemos
\iint_{\Omega} \bigl(\nabla\times \vec{F}\bigr)\cdot \vec{n}\,dS = \iint_{\Omega} \vec{0}\cdot \vec{n}\,dS = \iint_{\Omega} 0\,dS = 0.

Resposta

\int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0.

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