Use o teorema de Gauss para calcular
\int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde
\Omega
é orientada com vetor normal apontando para fora.
\vec{F}=x^{2} \vec{i}+x y \vec{j}-2 x z \vec{k}
e
\Omega
é o tetraedro com vértices
(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
.
\int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde
\Omega
é orientada com vetor normal apontando para fora.
\vec{F}=x^{2} \vec{i}+x y \vec{j}-2 x z \vec{k}
e
\Omega
é o tetraedro com vértices
(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada do tetraedro com vértices
, orientada para fora. Para isso vamos aplicar o teorema de Gauss, que converte o fluxo em um integral de volume do divergente de
.
Passo 2
Calculamos o divergente de
:
Passo 3
Pelo teorema de Gauss
e o volume
é dado por
Logo o integral vira
Passo 4
Integramos em
:
Em seguida em
:
Por fim em
: