Use o teorema de Gauss para calcular
\int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde
\Omega
é orientada com vetor normal apontando para fora.
\vec{F}=x^{2} \vec{i}+x y \vec{j}-2 x z \vec{k}
e
\Omega
é o tetraedro com vértices
(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}=x^{2}\,\vec{i}+x y\,\vec{j}-2 x z\,\vec{k} através da superfície fechada do tetraedro com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), orientada para fora. Para isso vamos aplicar o teorema de Gauss, que converte o fluxo em um integral de volume do divergente de \vec{F}.

Passo 2

Calculamos o divergente de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(x y) +\frac{\partial}{\partial z}(-2 x z) =2x+x-2x =x

Passo 3

Pelo teorema de Gauss
\iint_{\partial\Omega}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_{\Omega}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV =\iiint_{\Omega}x\,dV
e o volume \Omega é dado por
0\le x\le1, \quad 0\le y\le1-x, \quad 0\le z\le1-x-y.
Logo o integral vira
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1-x}\!\int_{0}^{1-x-y}x\,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos em z:
\int_{0}^{1-x-y}x\,dz =x\,(1-x-y).
Em seguida em y:
\int_{0}^{1-x}x\,(1-x-y)\,dy =x\Bigl[(1-x)y-\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1-x} =x\Bigl((1-x)^{2}-\tfrac{(1-x)^{2}}{2}\Bigr) =\tfrac{x(1-x)^{2}}{2}.
Por fim em x:
\int_{0}^{1}\tfrac{x(1-x)^{2}}{2}\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}(x-2x^{2}+x^{3})\,dx =\tfrac{1}{2}\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{2x^{3}}{3}+\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{4}\Bigr) =\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{12} =\tfrac{1}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{24}

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