Sejam o Campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}-y^{2},-2 x y^{2}, e^{\sqrt{z}} \cos z\right) e \gamma= ( \cos t, sent, 8-\cos ^{2} t- sent ), com 0 \leq t \leq 2 \pi. Calcule a integral de \vec{F} ao longo de \gamma.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec F(x,y,z)=\bigl(z^{2}-y^{2},\,-2xy^{2},\,e^{\sqrt z}\cos z\bigr)
e a curva fechada
\gamma(t)=(\cos t,\;\sin t,\;8-\cos^{2}t-\sin^{2}t), 0\le t\le2\pi.
Pede-se \displaystyle\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r.
O que vamos usar é: parametrizar \vec r(t), calcular d\vec r=\vec r\,'(t)\,dt e fazer
\int_{0}^{2\pi}\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \vec r\,'(t)\,dt.

Passo 2

Observamos que
z(t)=8-\cos^{2}t-\sin^{2}t=8-1=7,
ou seja, z é constante e dz=0. Além disso
x(t)=\cos t,\quad y(t)=\sin t
implica
dx=-\sin t\,dt,\quad dy=\cos t\,dt.

Passo 3

No ponto \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) temos
F_{x}=z^{2}-y^{2}=7^{2}-\sin^{2}t=49-\sin^{2}t,
F_{y}=-2xy^{2}=-2\cos t\sin^{2}t,
F_{z}=e^{\sqrt z}\cos z\quad(\text{não contribui pois }dz=0).ã
Logo
\vec F\cdot d\vec r =(49-\sin^{2}t)\,dx+(-2\cos t\sin^{2}t)\,dy
=(49-\sin^{2}t)(-\,\sin t\,dt)+(-2\cos t\sin^{2}t)(\cos t\,dt).

Passo 4

Simplificando o integrando:
(49-\sin^{2}t)(-\,\sin t) +\bigl(-2\cos t\sin^{2}t\bigr)\cos t =-49\sin t+\sin^{3}t-2\cos^{2}t\,\sin^{2}t.
Então
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-49\sin t+\sin^{3}t\bigr)\,dt \;-\;2\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,\sin^{2}t\,dt.

Passo 5

As duas primeiras integrais são zero por serem funções ímpares em um período completo:
\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=0,\quad \int_{0}^{2\pi}\sin^{3}t\,dt=0.
Para a última usamos \cos^{2}t\,\sin^{2}t=\tfrac14\sin^{2}(2t), então
-2\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,\sin^{2}t\,dt =-2\cdot\tfrac14\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}(2t)\,dt =-\tfrac12\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}(2t)\,dt.
E \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}(2t)\,dt=\pi, logo o resultado é
-\tfrac12\cdot\pi = -\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

-\tfrac{\pi}{2}

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