Sejam
um espaço vetorial,
um operador linear,
um autovetor de
associado ao autovalor
e
um autovetor de
associado ao autovalor
. É correto afirmar que
(A)
é autovetor de
se, e somente se,
e
.
(B) se
, então
não é um autovetor de
.
(C) se
, então
e
podem ser linearmente dependentes.
(D) se
, então, para todo
é autovetor de
associado ao autovalor
.
(E) se
, então
é autovetor de
associado ao autovalor 0 .
(A)
(B) se
(C) se
(D) se
(E) se
Passo 1
O enunciado trata de um operador linear
e de dois autovetores
e
de
, com autovalores
e
respectivamente. Queremos saber em que circunstâncias combinações lineares desses autovetores são também autovetores. O que vamos usar é:
- Definição de autovetor:
para algum escalar . - Para autovalores distintos, os autovetores são linearmente independentes.
- O vetor zero não é considerado autovetor.
Passo 2
Suponha
. Então
logo
é autovetor de
associado a
, desde que
.
Passo 3
Agora suponha que
seja autovetor de
com algum autovalor
. Então
Igualando,
Se
,
e
são independentes e isso só ocorre se
e
, ou seja
. Portanto, a existência de
obriga
.
Passo 4
Juntando os dois pedaços, concluímos que “
é autovetor” ocorre exatamente quando
(para permitir que seja múltiplo próprio) e
. Isso coincide com a alternativa (A).
Resposta
(A)
é autovetor de
se, e somente se,
e
.