Sejam V um espaço vetorial, T: V V um operador linear, u um autovetor de T associado ao autovalor lambda e v um autovetor de T associado ao autovalor mu. É correto afirmar que
(A) u+v é autovetor de T se, e somente se, mu=lambda e u+v neq 0V.
(B) se lambda=mu, então lambda u+v não é um autovetor de T.
(C) se lambda neq mu, então u e v podem ser linearmente dependentes.
(D) se lambda neq mu, então, para todo beta in R, 3 u+beta v é autovetor de T associado ao autovalor 3 lambda+beta mu.
(E) se lambda=mu, então u-v é autovetor de T associado ao autovalor 0 .

Passo 1

O enunciado trata de um operador linear T:Vto V e de dois autovetores u e v de T, com autovalores lambda e mu respectivamente. Queremos saber em que circunstâncias combinações lineares desses autovetores são também autovetores. O que vamos usar é:
  1. Definição de autovetor: T(w)=alpha,w para algum escalar alpha.
  2. Para autovalores distintos, os autovetores são linearmente independentes.
  3. O vetor zero não é considerado autovetor.

Passo 2

Suponha mu=lambda. Então
T(u+v)=T(u)+T(v)=lambda u+lambda v=lambda,(u+v),
logo u+v é autovetor de T associado a lambda, desde que u+vneq 0V.

Passo 3

Agora suponha que u+v seja autovetor de T com algum autovalor alpha. Então
T(u+v)=lambda u+mu v e alpha,(u+v)=alpha u+alpha v
Igualando,
lambda u+mu v=alpha u+alpha v ;Longrightarrow; (lambda-alpha)u+(mu-alpha)v=0V
Se lambdaneqmu, u e v são independentes e isso só ocorre se lambda-alpha=0 e mu-alpha=0, ou seja lambda=mu. Portanto, a existência de alpha obriga lambda=mu.

Passo 4

Juntando os dois pedaços, concluímos que “ u+v é autovetor” ocorre exatamente quando mu=lambda (para permitir que seja múltiplo próprio) e u+vneq 0V. Isso coincide com a alternativa (A).

Resposta

(A) u+v é autovetor de T se, e somente se, mu=lambda e u+v neq 0V.

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