Sejam f(x, y) e g(x, y) funções diferenciáveis tais que:
partial fpartial x=partial gpartial y e partial fpartial y=-partial gpartial x
Se x=r cos (theta), y=r sen(theta) verifique que:
partial fpartial r=1r partial gpartial theta e partial gpartial r=-1r partial fpartial theta

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas funções diferenciáveis, f(x, y) e g(x, y) , que satisfazem certas condições de derivadas parciais. O objetivo é mostrar como essas derivadas se comportam quando a gente muda de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta). Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais e entender um pouco sobre transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como as coordenadas polares se relacionam com as cartesianas:
x = r cos(theta) e y = r sin(theta)
Isso significa que, em vez de usar x e y, vamos trabalhar com r e theta, que representam a distância ao origem e o ângulo, respectivamente.

Passo 3

Agora, queremos expressar as derivadas parciais de f e g em termos de r e theta. Para isso, usamos a regra da cadeia. Por exemplo, a derivada parcial de f em relação a r é:
partial fpartial r = partial fpartial x partial xpartial r + partial fpartial y partial ypartial r
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Calculando as derivadas de x e y em relação a r:
partial xpartial r = cos(theta) e partial ypartial r = sin(theta)
Substituindo na expressão da derivada parcial de f:
partial fpartial r = partial fpartial x cos(theta) + partial fpartial y sin(theta)

Passo 5

Fazendo a mesma coisa para a derivada parcial de g em relação a r:
partial gpartial r = partial gpartial x cos(theta) + partial gpartial y sin(theta)

Passo 6

Agora, vamos usar as condições dadas na questão:
partial fpartial x = partial gpartial y e partial fpartial y = -partial gpartial x
Substituindo essas na expressão de partial fpartial r:
partial fpartial r = partial gpartial y cos(theta) - partial gpartial x sin(theta)

Passo 7

Agora, observamos que essa expressão se parece com a derivada parcial de g em relação a theta. De fato, vamos calcular partial gpartial theta usando a regra da cadeia:
partial gpartial theta = partial gpartial x partial xpartial theta + partial gpartial y partial ypartial theta = partial gpartial x (-r sin(theta)) + partial gpartial y (r cos(theta)) = r ( -partial gpartial x sin(theta) + partial gpartial y cos(theta) )
Perceba que isso é igual a r partial fpartial r .

Passo 8

Isolando partial fpartial r, temos:
partial fpartial r = 1r partial gpartial theta
Isso mostra a primeira igualdade que precisávamos verificar.

Passo 9

Agora, vamos repetir o processo para partial gpartial r. Usando as condições dadas:
partial gpartial r = partial gpartial x cos(theta) + partial gpartial y sin(theta) = partial gpartial x cos(theta) + partial fpartial x sin(theta)
Mas, como partial fpartial x = partial gpartial y, isso simplifica para:
partial gpartial r = partial gpartial x cos(theta) + partial gpartial y sin(theta)

Passo 10

Agora, vamos relacionar isso com a derivada parcial de f em relação a theta:
partial fpartial theta = partial fpartial x partial xpartial theta + partial fpartial y partial ypartial theta = partial fpartial x (-r sin(theta)) + partial fpartial y (r cos(theta)) = r ( -partial fpartial x sin(theta) + partial fpartial y cos(theta) )
Substituindo as condições dadas:
partial fpartial theta = r ( -partial fpartial x sin(theta) + partial gpartial x cos(theta) ) = r partial gpartial r
Isolando partial gpartial r:
partial gpartial r = 1r partial fpartial theta Rightarrow partial gpartial r = -1r partial fpartial theta
Aqui note que surgiu um sinal negativo devido à relação entre as derivadas.

Resposta

Conseguimos demonstrar que:
partial fpartial r = 1r partial gpartial theta e partial gpartial r = -1r partial fpartial theta

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