Sejam
e
funções diferenciáveis tais que:
Se
verifique que:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas funções diferenciáveis,
e
, que satisfazem certas condições de derivadas parciais. O objetivo é mostrar como essas derivadas se comportam quando a gente muda de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais e entender um pouco sobre transformação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como as coordenadas polares se relacionam com as cartesianas:
Isso significa que, em vez de usar
e
, vamos trabalhar com
e
, que representam a distância ao origem e o ângulo, respectivamente.
Passo 3
Agora, queremos expressar as derivadas parciais de
e
em termos de
e
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Por exemplo, a derivada parcial de
em relação a
é:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Substituindo na expressão da derivada parcial de
:
Passo 5
Fazendo a mesma coisa para a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos usar as condições dadas na questão:
Substituindo essas na expressão de
:
Passo 7
Agora, observamos que essa expressão se parece com a derivada parcial de
em relação a
. De fato, vamos calcular
usando a regra da cadeia:
Perceba que isso é igual a
.
Passo 8
Isolando
, temos:
Isso mostra a primeira igualdade que precisávamos verificar.
Passo 9
Agora, vamos repetir o processo para
. Usando as condições dadas:
Mas, como
, isso simplifica para:
Passo 10
Agora, vamos relacionar isso com a derivada parcial de
em relação a
:
Substituindo as condições dadas:
Isolando
:
Aqui note que surgiu um sinal negativo devido à relação entre as derivadas.
Resposta
Conseguimos demonstrar que: