Seja p=a+b i+c j+d k, onde a, b, c, d in R. Encontre p+e p-.

Passo 1

O enunciado dá um quaternion
p = a + b,i + c,j + d,k,
com a,b,c,dinR, e pede as partes
;p+ e ;p-.
O conteúdo envolvido é a álgebra dos quaternions e a decomposição em parte escalar (real) e parte vetorial (imaginária). Para isso, vamos usar o conjugado quaternion e as fórmulas
p+ = p + p2, p- = p - p2

Passo 2

Primeiro, recorde que o conjugado de p é
p = a - b,i - c,j - d,k
Esse conjugado inverte o sinal da parte vetorial de p, deixando a parte escalar a inalterada.

Passo 3

Agora, aplicamos a definição de p+:
p+ = p + p2 = l(a + b,i + c,j + d,kr) + l(a - b,i - c,j - d,kr)2
Os termos em i,j,k se cancelam, sobrando
p+ = 2,a2 = a

Passo 4

Em seguida, calculamos p-:
p- = p - p2 = l(a + b,i + c,j + d,kr) - l(a - b,i - c,j - d,kr)2
Aqui os termos escalares a se cancelam e os vetoriais dobram, ficando
p- = 2,(b,i + c,j + d,k)2 = b,i + c,j + d,k

Resposta

p+ = a, p- = b,i + c,j + d,k

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