Seja W=lang<= u1, u2rang<==x u1+y u2 mid x, y in R subset R^3, onde u1=(l1 0 1) e u2=(l1 1 1).
Exiba um vetor u3 in R^3 tal que u1, u2, u3 seja uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado define
W=lang<= u1,u2rang<=subsetR^3
com
u1=101, u2=111,
e pede um vetor u3inR^3 tal que u1,u2,u3 seja base de R^3. O conteúdo aqui é independência linear e extensão de base em R^3.

Passo 2

Primeiro mostramos que
Isso gera o sistema
cuja única solução é . Logo e são linearmente independentes e .

Passo 3

Para estender
Se estivesse em , existiriam tais que
Isso dá o sistema
que é inconsistente (.

Passo 4

Como u3notin W, o conjunto u1,u2,u3 tem três vetores linearmente independentes em R^3 e, por isso, é uma base de R^3.

Resposta

Um possível vetor é
u3=100

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