Use as relações
e
div(F times G)=lang<=G, rot Frang<=-lang<=F, rot Grang<= rot(rot F)=grad(div F)-nabla^2 F
para mostrar que:
se F é incompressível e irrotacional, então nabla^2 F=0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A gente vai usar algumas relações importantes envolvendo divergência, rotacional e o Laplaciano de um campo vetorial. O objetivo é mostrar que, se o campo vetorial F é incompressível (ou seja, sua divergência é zero) e irrotacional (seu rotacional também é zero), então o Laplaciano de F também será zero. Para isso, vamos precisar entender e aplicar as relações fornecidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa cada termo:
  • Divergência ( div): Mede a “taxa de expansão” de um campo vetorial. Se div F = 0, dizemos que o campo é incompressível.
  • Rotacional ( rot): Mede a tendência de rotação ou circulação do campo vetorial. Se rot F = 0, o campo é irrotacional.
  • Gradiente ( grad): Aplica-se a campos escalares e resulta em um campo vetorial que aponta na direção de maior variação desse campo.
  • Laplaciano ( nabla^2): Aplica-se a campos vetoriais ou escalares e generaliza o conceito de derivada segunda.

Passo 3

A gente tem duas relações importantes no enunciado:
rot(rot F) = grad(div F) - nabla^2 F
Queremos mostrar que nabla^2 F = 0 quando F é incompressível e irrotacional.

Passo 4

Como F é incompressível, sabemos que:
div F = 0
Então, o gradiente da divergência fica:
grad(div F) = grad(0) = 0

Passo 5

Além disso, como F é irrotacional, temos:
rot F = 0
Portanto, o rotacional do rotacional de F é:
rot(rot F) = rot(0) = 0

Passo 6

Agora, vamos substituir esses resultados na primeira relação que temos:
rot(rot F) = grad(div F) - nabla^2 F
Substituindo os valores que encontramos:
0 = 0 - nabla^2 F

Passo 7

Resolvendo a equação acima para nabla^2 F:
0 = - nabla^2 F Rightarrow nabla^2 F = 0

Resposta

Assim, mostramos que se F é incompressível e irrotacional, então o Laplaciano de F é zero:
nabla^2 F = 0

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