Use as relações
e
para mostrar que:
se
é incompressível e irrotacional, então
.
e
se
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A gente vai usar algumas relações importantes envolvendo divergência, rotacional e o Laplaciano de um campo vetorial. O objetivo é mostrar que, se o campo vetorial
é incompressível (ou seja, sua divergência é zero) e irrotacional (seu rotacional também é zero), então o Laplaciano de
também será zero. Para isso, vamos precisar entender e aplicar as relações fornecidas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa cada termo:
- Divergência (
): Mede a “taxa de expansão” de um campo vetorial. Se , dizemos que o campo é incompressível. - Rotacional (
): Mede a tendência de rotação ou circulação do campo vetorial. Se , o campo é irrotacional. - Gradiente (
): Aplica-se a campos escalares e resulta em um campo vetorial que aponta na direção de maior variação desse campo. - Laplaciano (
): Aplica-se a campos vetoriais ou escalares e generaliza o conceito de derivada segunda.
Passo 3
A gente tem duas relações importantes no enunciado:
Queremos mostrar que
quando
é incompressível e irrotacional.
Passo 4
Como
é incompressível, sabemos que:
Então, o gradiente da divergência fica:
Passo 5
Além disso, como
é irrotacional, temos:
Portanto, o rotacional do rotacional de
é:
Passo 6
Agora, vamos substituir esses resultados na primeira relação que temos:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Resolvendo a equação acima para
:
Resposta
Assim, mostramos que se
é incompressível e irrotacional, então o Laplaciano de
é zero: