Seja V=(x1, x2) ; x1 in R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2) alpha(x1, x2)=(0, alpha x2)
Verifique se V é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define
V=(x1,x2)mid x1inR,,x2inR
com as operações
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,,x2+y2),
alpha,(x1,x2)=(0,,alpha x2)
Queremos verificar se V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Verificamos fechamento sob adição e multiplicação por escalar:
  • Se u=(x1,x2) e v=(y1,y2), então
u+v=(x1+y1,,x2+y2)
fica em V.
  • Se alphainR e v=(x1,x2), então
alpha v=(0,,alpha x2)
também está em V.
Logo, há fechamento.

Passo 3

Verificamos a estrutura de grupo abeliano sob adição:
  • Elemento neutro:
    Procuramos 0V=(e1,e2) tal que (x1,x2)+0V=(x1,x2).
    Isto dá (x1+e1,,x2+e2)=(x1,x2), logo e1=0 e e2=0. Assim 0V=(0,0)
  • Inverso aditivo:
    Dado v=(x1,x2), seu inverso é -v=(-x1,-x2), pois (x1,x2)+(-x1,-x2)=(0,0)
Todas as propriedades de grupo abeliano são atendidas.

Passo 4

Verificamos os axiomas envolvendo multiplicação por escalar mais críticos:
  1. Distributividade em relação à adição em R: (alpha+beta)v =(alpha+beta)(x1,x2) =(0,(alpha+beta)x2) =(0,alpha x2+beta x2) =alpha v+beta v
  2. Distributividade em relação à adição em V: alpha(u+v) =alpha(x1+y1,,x2+y2) =(0,,alpha(x2+y2)) =(0,alpha x2+alpha y2) =alpha u+alpha v
  3. Associatividade de escalares: alpha(beta v) =alpha(0,beta x2) =(0,alphabeta x2) =( alphabeta)(x1,x2) =(alphabeta)v
  4. Existência do escalar neutro 1:
    Calculamos 1,(x1,x2)=(0,1cdot x2)=(0,x2) Mas para ser espaço vetorial precisamos de 1,(x1,x2)=(x1,x2)forall,(x1,x2) Isso só ocorre se x1=0 para todo vetor, o que não vale em V.
Portanto, falha o axioma do elemento neutro da multiplicação por escalar.

Resposta

V não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma 1cdot v=v para todos os vinV.

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