Seja
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por
Verifique se
é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define
com as operações
com as operações
Queremos verificar se
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Verificamos fechamento sob adição e multiplicação por escalar:
- Se
e , então
fica em
.
- Se
e , então
também está em
.
Logo, há fechamento.
Logo, há fechamento.
Passo 3
Verificamos a estrutura de grupo abeliano sob adição:
- Elemento neutro:
Procuramostal que .
Isto dálogo e . Assim - Inverso aditivo:
Dado, seu inverso é , pois
Todas as propriedades de grupo abeliano são atendidas.
Passo 4
Verificamos os axiomas envolvendo multiplicação por escalar mais críticos:
- Distributividade em relação à adição em
: - Distributividade em relação à adição em
: - Associatividade de escalares:
- Existência do escalar neutro
:
CalculamosMas para ser espaço vetorial precisamos de Isso só ocorre se para todo vetor, o que não vale em .
Portanto, falha o axioma do elemento neutro da multiplicação por escalar.