Verifique quais dos conjuntos abaixo são Linearmente Independente:
X=v1=(-1,2,4), v2=(1,-2,1) subset R^3 Y=v1=(3,-1), v2=(4,5), v3=(-4,7) subset R^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os conjuntos
X=v1=(-1,2,4),;v2=(1,-2,1)subsetR^3
e
Y=v1=(3,-1),;v2=(4,5),;v3=(-4,7)subsetR^2
são linearmente independentes. Vamos usar a definição: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial (todos os coeficientes nulos). Para Y também podemos usar o fato de que em R^2 a dimensão é 2, logo qualquer conjunto com mais de 2 vetores é linearmente dependente.

Passo 2

Para
Em coordenadas isso dá o sistema
Da primeira equação , que é sempre verdade. Na terceira ficamos com
e daí . Como só a solução trivial existe, é linearmente independente.

Passo 3

Em R^2 a dimensão é 2, então qualquer conjunto com 3 vetores é necessariamente linearmente dependente, pois existem mais vetores do que a dimensão do espaço. Logo Y é linearmente dependente.

Resposta

X é linearmente independente e Y é linearmente dependente.

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