Seja
, com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar usuais, e os subespaços vetoriais de
abaixo:
Prove que o conjunto
é um subespaço vetorial de
( 0,6 ponto);
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
é um subespaço de
.
Para isso, basta verificar três propriedades básicas de subespaço:
Para isso, basta verificar três propriedades básicas de subespaço:
-
. - Fechamento em soma de vetores.
- Fechamento em multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo
pertence a
. De fato, em
temos
logo
. Portanto
não é vazio.
Passo 3
Fechamento em soma. Seja
Como
e
, temos
Então, para
, vale
Logo
, provando a fechamento em soma.
Passo 4
Fechamento em escalar. Seja
e
. Então
Para
temos
Logo
, provando a fechamento em multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero e está fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.