Seja V=R^4, com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar usuais, e os subespaços vetoriais de V abaixo:
& G=(x, y, z, w) in R^4 mid x-y-z=0 ; x-2 y+w=0 ; & W=(x, 2 x,-x, 3 x) in R^4 mid x in R
Prove que o conjunto G é um subespaço vetorial de R^4 ( 0,6 ponto);

Passo 1

O enunciado define
G=(x,y,z,w)inR^4mid x-y-z=0,;x-2y+w=0
e pede para mostrar que G é um subespaço de R^4.
Para isso, basta verificar três propriedades básicas de subespaço:
  1. Gneqemptyset.
  2. Fechamento em soma de vetores.
  3. Fechamento em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo (0,0,0,0) pertence a G. De fato, em (0,0,0,0) temos
0-0-0=0 e 0-2cdot0+0=0,
logo (0,0,0,0)in G. Portanto G não é vazio.

Passo 3

Fechamento em soma. Seja
u=(x1,y1,z1,w1)in G e v=(x2,y2,z2,w2)in G
Como uin G e vin G, temos
x1-y1-z1=0,;x1-2y1+w1=0, x2-y2-z2=0,;x2-2y2+w2=0
Então, para u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;w1+w2), vale
(x1+x2)-(y1+y2)-(z1+z2) =(x1-y1-z1)+(x2-y2-z2)=0+0=0,
(x1+x2)-2(y1+y2)+(w1+w2) =(x1-2y1+w1)+(x2-2y2+w2)=0+0=0
Logo u+vin G, provando a fechamento em soma.

Passo 4

Fechamento em escalar. Seja alphainR e u=(x,y,z,w)in G. Então
x-y-z=0, x-2y+w=0
Para alpha u=(alpha x,alpha y,alpha z,alpha w) temos
alpha x-alpha y-alpha z =alpha,(x-y-z)=alphacdot0=0,
alpha x-2,alpha y+alpha w =alpha,(x-2y+w)=alphacdot0=0
Logo alpha uin G, provando a fechamento em multiplicação por escalar.

Resposta

Como G contém o vetor zero e está fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que G é um subespaço vetorial de R^4.

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