Seja T: R^3 R^3 o operador do R^3 cuja matriz em relação à base beta canônica de R^3 é
[T]beta=[rrr 1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1 ]
Note que a matriz desse operador é uma matriz simétrica em relação a uma base ortonormal de R^3, a base canônica (o que nos diz que esse operador é auto-adjunto). Faça o que se pede nos itens.
(iv) Determine a matriz M=[I]beta^betao que diagonaliza o mesmo e verifique que [T]betao=M^-1[T]beta M.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T:R^3toR^3 com matriz em relação à base canônica beta
[T]beta = 1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1
e pede a matriz M=[I]beta^betao que leva de beta para uma base ortonormal betao de autovetores de T, de modo que a nova matriz de T em betao seja diagonal:
[T]betao = M^-1,[T]beta,M
Como a matriz é simétrica, sabemos que podemos escolher betao ortonormal, o que implica M^-1=M^T.

Passo 2

Vamos calcular os autovalores de
A=[T]beta = 1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =lambda^3+3lambda^2-45lambda+81 =(lambda-3)^2(lambda+9)
Logo os autovalores são
lambda1=3(mu<iplicidade 2), lambda2=-9(mu<iplicidade 1)

Passo 3

Agora achamos autovetores e os ortonormalizamos.
1. Para lambda=-9, resolvemos (A+9I)v=0. Uma solução é
v3=(1,-2,-1),
que após normalizar dá
e3 =1raiz6,(1,,-2,,-1)
2. Para lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0, cujos vetores têm a forma (x,y,x-2y). Tomamos duas soluções independentes:
v1=(1,0,1), v2=(0,1,-2)
Aplicando Gram–Schmidt e normalizando, obtemos
e1 =1raiz2,(1,0,1), e2 =1raiz3,(1,1,-1),
ambos associados a lambda=3 e ortogonais entre si.

Passo 4

Definimos betao=(e1,e2,e3). A matriz de mudança de base M=[,e1;e2;e3,] em coordenadas da base canônica fica
M = 1raiz2 & 1raiz3 & 1raiz6[6pt] 0 & 1raiz3 & -2raiz6[6pt] 1raiz2 & -1raiz3 & -1raiz6
Como betao é ortonormal, temos M^-1=M^T. Então
[T]betao = M^-1,[T]beta,M = M^T,A,M = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -9 ,
confirmando a diagonalização.]

Resposta

M = 1raiz2 & 1raiz3 & 1raiz6[6pt] 0 & 1raiz3 & -2raiz6[6pt] 1raiz2 & -1raiz3 & -1raiz6 , [T]betao = M^-1[T]betaM = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -9 ]

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