Seja T: R^3 R^3 o operador do R^3 cuja matriz em relação à base beta canônica de R^3 é
[T]beta=[rrr 1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1 ]
Note que a matriz desse operador é uma matriz simétrica em relação a uma base ortonormal de R^3, a base canônica (o que nos diz que esse operador é auto-adjunto). Faça o que se pede nos itens.
(i) Encontre os autovalores de T e dê a multiplicidade algébrica (ma(lambda)) para cada um deles.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear auto-adjunto
[T]beta=1&4&24&-5&-42&-4&1
e pede os autovalores de T com suas multiplicidades algébricas. Como T é auto-adjunto, todos os autovalores serão reais.

Passo 2

Vamos escrever o polinômio característico de T:
detl([T]beta-lambda Ir) = 1-lambda & 4 & 2 4 & -5-lambda & -4 2 & -4 & 1-lambda
Expandindo pela primeira linha, obtemos
(1-lambda)-5-lambda & -4-4 & 1-lambda -44 & -42 & 1-lambda +24 & -5-lambda2 & -4

Passo 3

Calculando cada menor e somando, chegamos ao polinômio
-lambda^3 ;-;3lambda^2;+;45lambda;-;81 ;=;0,
que, multiplicando por -1, fica
lambda^3 +3lambda^2 -45lambda +81 = 0

Passo 4

Testando lambda=3 no polinômio, verificamos que é raiz. Fazendo divisão sintética, fatoramos
lambda^3 +3lambda^2 -45lambda +81 =(lambda-3)(lambda^2+6lambda-27)
E as raízes de lambda^2+6lambda-27=0 são
lambda=-6pmraiz36+1082 =-6pm122;Longrightarrow;lambda=3oulambda=-9
Portanto os autovalores são lambda=3, com raiz dupla, e lambda=-9, com raiz simples.

Resposta

Os autovalores e suas multiplicidades algébricas são:
lambda1=3, ma(3)=2, lambda2=-9, ma(-9)=1

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