Seja T: R^3 R^3 o operador do R^3 cuja matriz em relação à base beta canônica de R^3 é
[T]beta=[rrr 2 & 2 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 2 ]
(i) Encontre os autovalores de T e dê a multiplicidade algébrica (ma(lambda)) para cada um deles.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T]beta= 2 & 2 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 2
Queremos encontrar os autovalores de T e suas multiplicidades algébricas. Para isso, vamos calcular o polinômio característico det([T]beta-lambda I) e fatorá-lo.

Passo 2

Escrevemos o determinante
detl([T]beta-lambda Ir) =det 2-lambda & 2 & 0 2 & -1-lambda& 0 0 & 0 & 2-lambda
Como a matriz é block-triangular, temos
detl([T]beta-lambda Ir) =det 2-lambda & 2 2 & -1-lambda ;times;(2-lambda)

Passo 3

Calculamos o determinante do bloco 2times2:
det 2-lambda & 2 2 & -1-lambda =(2-lambda)(-1-lambda)-2cdot2 =lambda^2-lambda-6 =(lambda-3)(lambda+2)
Logo o polinômio característico é
detl([T]beta-lambda Ir) =(lambda-3)(lambda+2),(2-lambda)

Passo 4

Dos fatores temos as raízes
lambda=3, lambda=-2 e lambda=2. Cada fator é de grau 1, então a multiplicidade algébrica de cada autovalor é 1.

Resposta

lambda1=3, com ma(3)=1;
lambda2=-2, com ma(-2)=1;
lambda3=2, com ma(2)=1.

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