Seja T: R^3 R^3 o operador do R^3 cuja matriz em relação à base beta canônica de R^3 é
[T]beta=[rrr 2 & 2 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 2 ]
(iii) Exiba uma base ortonormal betao de R^3 formada por autovetores para este operador.

Passo 1

O enunciado define um operador linear T em R^3 cuja matriz na base canônica é
A = [T]beta = 2 & 2 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 2
Pede-se uma base ortonormal betao formada por autovetores de T. Para isso vamos usar diagonalização de matrizes simétricas: primeiro achamos os autovalores, em seguida os autovetores e finalmente normalizamos para obter ortonormalidade.

Passo 2

Calculamos os autovalores de A. Como a parte superior forma um bloco 2times2 e o elemento (3,3) é isolado, temos:
det!2-lambda & 22 & -1-lambda = (2-lambda)(-1-lambda)-4 =lambda^2-lambda-6=0,
cuja solução é lambda=3 ou lambda=-2. E o terceiro autovalor vem de 2-lambda=0, ou seja, lambda=2.

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
Para , resolvemos
Um autovetor é .
Para ,
Um autovetor é .
Para , o terceiro eixo é próprio porque a matriz não mistura a terceira coordenada, logo qualquer vetor da forma é autovetor.

Passo 4

Basta normalizar para obter ortonormalidade. As normas são todas raiz5 nos dois primeiros vetores e 1 no terceiro. Assim definimos
v1 = 1raiz5(2,1,0), v2 = 1raiz5(1,-2,0), v3 = (0,0,1)
Verifica-se que lang<= vi,vjrang<==0 para ineq j e |vi|=1.

Resposta

A base ortonormal de autovetores pedida é
betao = 1raiz5(2,1,0),;1raiz5(1,-2,0),;(0,0,1)

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