Seja T: R^3 R^3 o operador do R^3 cuja matriz em relação à base beta canônica de R^3 é
[T]beta=[rrr 1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1 ]
Note que a matriz desse operador é uma matriz simétrica em relação a uma base ortonormal de R^3, a base canônica (o que nos diz que esse operador é auto-adjunto). Faça o que se pede nos itens.
(ii) Encontre, para cada autovalor lambda, o subespaço Vlambda de R^3 que é o subespaço associado ao lambda. Encontre a multiplicidade geométrica (mg(lambda)) para cada autovalor.

Passo 1

O enunciado dá o operador T em R^3 cuja matriz na base canônica é
A = [T]beta = 1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1 ,
sabendo que A é simétrica. No item (ii) precisamos, para cada autovalor lambda, resolver
(A - lambda I)x = 0
para encontrar o subespaço próprio Vlambda e a multiplicidade geométrica mg(lambda).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) =det 1-lambda & 4 & 2 4 & -5-lambda & -4 2 & -4 & 1-lambda =lambda^3+3lambda^2-45lambda+81
As raízes inteiras possíveis de lambda^3+3lambda^2-45lambda+81=0 são lambda=3 e lambda=-9. De fato, faz-se divisão sintética por lambda-3 e obtém-se
lambda^3+3lambda^2-45lambda+81=(lambda-3)(lambda^2+6lambda-27) =(lambda-3)^2(lambda+9)
Logo os autovalores são
lambda=3(ma=2), lambda=-9(ma=1)

Passo 3

Para resolvemos , isto é
Da segunda equação vem , da primeira surge e ambas levam a
Assim
e a multiplicidade geométrica é

Passo 4

Para resolvemos , isto é
Todas as linhas dão a mesma equação , logo
Portanto
e

Resposta


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