Seja T: R^3 R^3 o operador do R^3 cuja matriz em relação à base beta canônica de R^3 é
[T]beta=[rrr 2 & 2 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 2 ]
(ii) Encontre, para cada autovalor lambda, o subespaço Vlambda de R^3 que é o subespaço associado ao lambda. Encontre a multiplicidade geométrica (mg(lambda)) para cada autovalor.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear Tcolon R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T]beta= 2 & 2 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 2
Pede-se para cada autovalor lambda determinar o subespaço próprio
Vlambda = ,vinR^3 : T(v)=lambda v
e a multiplicidade geométrica mg(lambda)=dim Vlambda.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico
chi(lambda)=detl([T]beta-lambda Ir) =det 2-lambda & 2 & 0 2 & -1-lambda & 0 0 & 0 & 2-lambda
Como o bloco 1,2 é independente da coordenada 3, temos
chi(lambda) =det2-lambda&22&-1-lambda,(2-lambda)
Calculando
det2-lambda&22&-1-lambda =(2-lambda)(-1-lambda)-4 =lambda^2-lambda-6 =(lambda-3)(lambda+2),
logo
chi(lambda)=(lambda-3)(lambda+2)(2-lambda)
Os autovalores são lambda=3, lambda=-2 e lambda=2, todos com multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Para resolvemos
Da terceira linha vem . Das duas primeiras linhas obtemos a mesma relação
.
Logo

Passo 4

Para resolvemos
Da terceira linha vem . Da primeira linha .
Logo

Passo 5

Para resolvemos
Das duas primeiras linhas segue e . A terceira linha dá , logo é livre.

Resposta

Para lambda=3:
V3=span(2,1,0), mg(3)=1
Para lambda=-2:
V-2=span(1,-2,0), mg(-2)=1
Para lambda=2:
V2=span(0,0,1), mg(2)=1

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