Seja um operador linear não nulo tal que . Prove que existe uma base de tal que .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se T: R^2to R^2 é linear não nulo e satisfaz T^2=0, então existe base B de R^2 em que a matriz de T é
[T] B=0&01&0
O conteúdo principal é Álgebra Linear: usaremos o Teorema do Núcleo-Imágem (rank–nullity) para achar dimensões de ker T e Im T, e depois escolher vetores adequados para formar a base desejada.
Passo 2
Como T^2=0, para todo xin R^2 temos T(T(x))=0. Logo Im Tsubseteqker T. Pelo Teorema do Núcleo-Imágem,
dimker T + dimIm T = 2
Como T não é nulo, Im Tneq0, então dimIm T=1. Consequentemente dimker T=1. E fica confirmado que
Im T=ker T
é um subespaço de dimensão 1.
Passo 3
Escolha um vetor vneq0 em ker T. Então T(v)=0. Como Im T também tem dimensão 1, existe algum uin R^2 tal que
T(u)=v
Note que vneq0 implica unotinker T, portanto u e v são linearmente independentes e formam uma base de R^2.
Passo 4
Defina a base B=(u,v). Vamos ver como T age sobre esses vetores:
T(u)=v. Em coordenadas na base B, isso quer dizer T(u)=0cdot u + 1cdot v longrightarrowcoluna 1 de [T] B=01
T(v)=0. Em coordenadas na base B, isso é T(v)=0cdot u + 0cdot v longrightarrowcoluna 2 de [T] B=00