Seja
um operador linear de
, com autovalores
e
. Considere que
e
.
Determine uma base
de
tal que
seja diagonal;
Determine uma base
Passo 1
O enunciado diz que
é linear, com autovalores
e
. Sabemos também que
(autovetor associado a
) e
(autovetor associado a
). O objetivo é encontrar uma base
de
formada por autovetores de
de modo que a matriz de
nessa base seja diagonal.
Passo 2
O teorema de diagonalização diz que, se conseguirmos
autovetores linearmente independentes em
, então eles formam uma base na qual a matriz de
é diagonal, com os autovalores na diagonal principal. Como aqui são dois autovalores distintos em
, basta mostrar que os dois vetores dados são independentes e então usá-los como base.
Passo 3
Verifiquemos a independência de
então do sistema
vem é uma base de
.
Passo 4
Nessa base de autovetores, a ação de
é simplesmente
e a matriz de
fica diagonal com entradas
e
.