Seja T um operador linear de R^2, com autovalores lambda1=5 e lambda2=-1. Considere que (1,1) in V5 e (2,-1) in V-1.
Determine uma base beta de R^2 tal que [T]beta^beta seja diagonal;

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon R^2 to R^2 é linear, com autovalores lambda1=5 e lambda2=-1. Sabemos também que
,(1,1)in V5 (autovetor associado a 5) e ,(2,-1)in V-1 (autovetor associado a -1). O objetivo é encontrar uma base beta de R^2 formada por autovetores de T de modo que a matriz de T nessa base seja diagonal.

Passo 2

O teorema de diagonalização diz que, se conseguirmos n autovetores linearmente independentes em R^n, então eles formam uma base na qual a matriz de T é diagonal, com os autovalores na diagonal principal. Como aqui são dois autovalores distintos em R^2, basta mostrar que os dois vetores dados são independentes e então usá-los como base.

Passo 3

Verifiquemos a independência de
então do sistema
vem é uma base de .

Passo 4

Nessa base de autovetores, a ação de T é simplesmente
T(1,1)=5,(1,1), T(2,-1)=-1,(2,-1),
e a matriz de T fica diagonal com entradas 5 e -1.

Resposta

beta = (1,1),,(2,-1), para a qual
[T]beta^beta = 5 & 0 0 & -1

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