Seja T: R^2 R^2 o operador linear dado por
T(x, y)=(-3 x+4 y,-x+2 y)
b) (1,5 ponto) Ache o polinômio característico e os autovalores de T;

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T:R^2toR^2 definido por
T(x,y)=(-3x+4y,,-x+2y)
Queremos encontrar o polinômio característico de T e seus autovalores. Para isso, vamos usar a representação matricial de T na base canônica e calcular
chiT(lambda)=detl(A-lambda Ir),
onde A é a matriz de T e I a matriz identidade.

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1), os vetores imagens são
T(1,0)=(-3,-1), T(0,1)=(4,2),
logo a matriz de T é
A = -3 & 4 [6pt] -1 & 2
Subtraindo lambda I e tomando o determinante, obtemos
chiT(lambda)=det!-3-lambda & 4 [4pt]-1 & 2-lambda =(-3-lambda)(2-lambda)-4cdot(-1)
Fazendo as contas:
(-3-lambda)(2-lambda)=lambda^2+lambda-6,
então
chiT(lambda)=l(lambda^2+lambda-6r)+4=lambda^2+lambda-2
Para achar os autovalores, resolvemos chiT(lambda)=0:
lambda^2+lambda-2=0Longrightarrow(lambda+2)(lambda-1)=0,
de onde lambda1=1 e lambda2=-2.
]

Resposta

O polinômio característico é
chiT(lambda)=lambda^2+lambda-2
e os autovalores são lambda=1 e lambda=-2.

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