Seja T uma transformação linear entre os espaços R^2 e R^3, cuja matriz em relação às bases alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1).
[T]=[ccc 1 & 3 & -1 0 & 4 & 1 ]
c) (1,5 pontos) Enuncie o Teorema do Núcleo e da Imagem. Use o teorema para determinar o conjunto imagem de T e responda: T é sobrejetora?

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
Tcolon R^3toR^2 cujo núcleo e imagem queremos analisar. Em relação às bases canônicas de R^3 e R^2, a matriz de T é
[T] = 1 & 3 & -1 0 & 4 & 1
Vamos enunciar o Teorema do Núcleo e da Imagem e usá-lo para achar Im,T e decidir se T é sobrejetora.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Núcleo e da Imagem (Teorema da Dimensão)
Para toda transformação linear
;Tcolon Vto W entre espaços vetoriais de dimensão finita vale
diml(ker Tr);+;diml(Im,Tr);=;dim(V)

Passo 3

Vamos calcular
Da segunda equação temos
e portanto
.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão,
dim(Im,T) ;=;dim(V)-dim(ker T) ;=;3-1 ;=;2
Como Im,TsubseteqR^2 e tem dimensão 2, concluímos que
Im,T = R^2

Passo 5

Sempre que Im,T=W, dizemos que T é sobrejetora. Aqui vimos que
Im,T=R^2, que é todo o contradomínio.

Resposta

Im,T = R^2 e, portanto, T é sobrejetora.

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