Seja uma transformação linear entre os espaços e , cuja matriz em relação às bases e .
c) (1,5 pontos) Enuncie o Teorema do Núcleo e da Imagem. Use o teorema para determinar o conjunto imagem de T e responda: T é sobrejetora?
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear Tcolon R^3toR^2 cujo núcleo e imagem queremos analisar. Em relação às bases canônicas de R^3 e R^2, a matriz de T é
[T] = 1 & 3 & -1 0 & 4 & 1
Vamos enunciar o Teorema do Núcleo e da Imagem e usá-lo para achar Im,T e decidir se T é sobrejetora.
Passo 2
Enunciado do Teorema do Núcleo e da Imagem (Teorema da Dimensão)
Para toda transformação linear ;Tcolon Vto W entre espaços vetoriais de dimensão finita vale
diml(ker Tr);+;diml(Im,Tr);=;dim(V)
Passo 3
Vamos calcular
Da segunda equação temos
e portanto .
Passo 4
Pelo Teorema da Dimensão,
dim(Im,T) ;=;dim(V)-dim(ker T) ;=;3-1 ;=;2
Como Im,TsubseteqR^2 e tem dimensão 2, concluímos que
Im,T = R^2
Passo 5
Sempre que Im,T=W, dizemos que T é sobrejetora. Aqui vimos que Im,T=R^2, que é todo o contradomínio.