Seja T: V W urna transformação entre os espaços vetoriais V e W
b) (1,5 pontos) Se V=R^2, W=R^3, c in R-0 e T(x, y)=(x, y, x+c y). então T é linear?

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
T: R^2 to R^3
por
T(x,y)=(x,y,x+cy),
sendo cneq0. O conteúdo que vamos usar é o conceito de transformação linear e as duas propriedades que ela deve satisfazer: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos a aditividade. Dados (x1,y1) e (x2,y2) em R^2,
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(x1+x2,;y1+y2,;(x1+x2)+c(y1+y2)r)
Por outro lado,
T(x1,y1)+T(x2,y2) = (x1,y1,x1+cy1)+(x2,y2,x2+cy2) = l(x1+x2,;y1+y2,;x1+x2 + c(y1+y2)r)
Logo T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Para alphainR e (x,y)inR^2,
Tl(alpha(x,y)r) = T(alpha x,alpha y) = l(alpha x,alpha y,alpha x + c,alpha yr) = alpha,(x,y,x+cy) = alpha,T(x,y)

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade para todos os vetores e escalares, concluímos que T é de fato uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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