Seja uma transformação linear entre os espaços e , cuja matriz em relação às bases e .
b) (1,0 ponto) Calcule o núcleo de T. Responda justificando: T é injetora?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear ;T:R^2toR^3; cujas bases são alpha=(1,0),(0,1) no domínio e beta=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) no contradomínio, e fornece a matriz de T em relação a essas bases. Precisamos achar o núcleo de T, ou seja, todos os vetores (x,y)inR^2 tais que T(x,y)=0, e verificar se T é injetora (o que ocorre exatamente quando o núcleo é trivial).
Passo 2
Para montar o sistema T(x,y)=0 note que a matriz deve ser de tamanho 3times2. Reorganizando a informação dada (já que T vai de R^2 a R^3), obtemos
[T]beta,alpha = 1 & 0 3 & 4 -1&1
Isto significa que, em coordenadas padrão,
T(x,y) = 1cdot x + 0cdot y 3cdot x + 4cdot y -1cdot x + 1cdot y =x3x+4y-x+y
Passo 3
Impondo
Da primeira equação vem dá . A terceira equação é então automaticamente satisfeita.
Passo 4
Como a única solução é (x,y)=(0,0), o núcleo de T é
ker(T)=(0,0)
Uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo for o subespaço trivial 0. Portanto, T é injetora.