Seja T uma transformação linear entre os espaços R^2 e R^3, cuja matriz em relação às bases alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1).
[T]=[ccc 1 & 3 & -1 0 & 4 & 1 ]
a) (1,0 ponto) Ache a expressão de T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T: R^3toR^2
cuja matriz em relação à base beta de R^3 e à base alpha de R^2 é
[T]alpha,beta = 1 & 3 & -1 0 & 4 & 1
Aqui beta=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) é a base do domínio R^3 e alpha=(1,0),(0,1) é a base padrão do contradomínio R^2.
Precisamos achar a fórmula de T(x,y,z) em coordenadas padrão.

Passo 2

Para um vetor genérico (x,y,z)inR^3, escrevemos suas coordenadas na base beta. Ou seja, procuramos (c1,c2,c3) tais que
c1(1,1,0)+c2(0,1,0)+c3(0,0,1)=(x,y,z)
Isso dá o sistema
c1 = x, c1 + c2 = y, c3 = z
Logo
c1 = x, c2 = y - x, c3 = z

Passo 3

As coordenadas de na base vêm de
Fazendo a multiplicação,
ªª

Passo 4

Como alpha é a base padrão de R^2, essas duas coordenadas já são exatamente T(x,y,z) em padrão. Logo
T(x,y,z)=l(-2x+3y-z,,-4x+4y+zr)

Resposta

T(x,y,z)=l(-2x+3y-z,,-4x+4y+zr)

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