Seja uma transformação linear entre os espaços e , cuja matriz em relação às bases e .
a) (1,0 ponto) Ache a expressão de T.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T: R^3toR^2
cuja matriz em relação à base beta de R^3 e à base alpha de R^2 é
[T]alpha,beta = 1 & 3 & -1 0 & 4 & 1
Aqui beta=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) é a base do domínio R^3 e alpha=(1,0),(0,1) é a base padrão do contradomínio R^2.
Precisamos achar a fórmula de T(x,y,z) em coordenadas padrão.
Passo 2
Para um vetor genérico (x,y,z)inR^3, escrevemos suas coordenadas na base beta. Ou seja, procuramos (c1,c2,c3) tais que
c1(1,1,0)+c2(0,1,0)+c3(0,0,1)=(x,y,z)
Isso dá o sistema
c1 = x, c1 + c2 = y, c3 = z
Logo
c1 = x, c2 = y - x, c3 = z
Passo 3
As coordenadas de na base vêm de
Fazendo a multiplicação,
ªª
Passo 4
Como alpha é a base padrão de R^2, essas duas coordenadas já são exatamente T(x,y,z) em padrão. Logo