Seja T: R^3 R^3 um operador linear dado por
T(x, y, z)=(2 x+4 z, 3 x-4 y+12 z, x-2 y+5 z)
Encontre os autovalores de T.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores do operador linear T:R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (2x+4z,;3x-4y+12z,;x-2y+5z)
Para encontrar os autovalores, precisamos escrever a matriz associada A na base canônica, calcular o polinômio característico det(A-lambda I) e resolver det(A-lambda I)=0.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = 2 & 0 & 4 3 & -4 & 12 1 & -2 & 5
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det 2-lambda & 0 & 4 3 & -4-lambda & 12 1 & -2 & 5-lambda
Expandindo pela primeira linha, obtemos
(2-lambda) det-4-lambda & 12-2 & 5-lambda +4, det3 & -4-lambda1 & -2
Calculamos os menores:
det-4-lambda & 12-2 & 5-lambda =(-4-lambda)(5-lambda)+24 =lambda^2-lambda+4,
det3 & -4-lambda1 & -2 =3cdot(-2)-1cdot(-4-lambda) =-6+4+lambda =lambda-2
Substituindo de volta,
det(A-lambda I) =(2-lambda)(lambda^2-lambda+4)+4(lambda-2) =-lambda(lambda-1)(lambda-2)

Passo 3

Para det(A-lambda I)=0 resolvemos
-lambda(lambda-1)(lambda-2)=0
e obtemos
lambda=0, lambda=1 e lambda=2.

Resposta

Os autovalores de T são lambda=0, lambda=1 e lambda=2.

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