Seja um operador linear dado por . é diagonalizável? Se sim, exiba uma base de formada por autovetores e .
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o operador linear
é diagonalizável.
Conteúdo: diagonalização de operadores, que envolve encontrar a matriz na base canônica, calcular polinômio característico, determinar autovalores distintos e os autovetores correspondentes.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz de na base canônica .
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Como M é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal:
lambda1=1, lambda2=3, lambda3=-1
Passo 3
Para lambda=1 resolvemos (M-I)x=0:
M-I = 0 & 2 & 1 0 & 2 & 1 0 & 0 & -2 ,
de onde -2z=0implies z=0 e 2y+z=0implies y=0. Sobram x livre, escolhemos
v1 = (1,0,0)
Passo 4
Para lambda=3 resolvemos (M-3I)x=0:
M-3I = -2 & 2 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & -4 ,
de onde z=0 e -2x+2y=0implies x=y. Escolhemos
v2 = (1,1,0)
Passo 5
Para lambda=-1 resolvemos (M+I)x=0:
M+I = 2 & 2 & 1 0 & 4 & 1 0 & 0 & 0 ,
de onde 4y+z=0implies z=-4y e 2x+2y+z=0implies x=y. Escolhemos
v3 = (1,1,-4)
Passo 6
Os três autovalores são distintos, logo T é diagonalizável.
Uma base de R^3 formada por autovetores é
alpha = ,v1=(1,0,0),;v2=(1,1,0),;v3=(1,1,-4)
Na base alpha, a matriz de T é diagonal com os autovalores na diagonal:
[T]alpha^alpha = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1
Resposta
T é diagonalizável.
Base de autovetores: alpha=(1,0,0),,(1,1,0),,(1,1,-4).
Matriz de T em alpha: