Seja T: R^3 R^3 um operador linear dado por T(x, y, z)=(x+2 y+z, 3 y+z,-z).
T é diagonalizável? Se sim, exiba uma base alpha de R^3 formada por autovetores e [T]alpha^alpha.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o operador linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x+2y+z,;3y+z,;-z)
é diagonalizável.
Conteúdo: diagonalização de operadores, que envolve encontrar a matriz na base canônica, calcular polinômio característico, determinar autovalores distintos e os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz de T na base canônica e1,e2,e3.
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,0), T(e2)=(2,3,0), T(e3)=(1,1,-1)
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M = [T]can = 1 & 2 & 1 0 & 3 & 1 0 & 0 & -1
Como M é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal:
lambda1=1, lambda2=3, lambda3=-1

Passo 3

Para lambda=1 resolvemos (M-I)x=0:
M-I = 0 & 2 & 1 0 & 2 & 1 0 & 0 & -2 ,
de onde -2z=0implies z=0 e 2y+z=0implies y=0. Sobram x livre, escolhemos
v1 = (1,0,0)

Passo 4

Para lambda=3 resolvemos (M-3I)x=0:
M-3I = -2 & 2 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & -4 ,
de onde z=0 e -2x+2y=0implies x=y. Escolhemos
v2 = (1,1,0)

Passo 5

Para lambda=-1 resolvemos (M+I)x=0:
M+I = 2 & 2 & 1 0 & 4 & 1 0 & 0 & 0 ,
de onde 4y+z=0implies z=-4y e 2x+2y+z=0implies x=y. Escolhemos
v3 = (1,1,-4)

Passo 6

Os três autovalores são distintos, logo T é diagonalizável.
Uma base de R^3 formada por autovetores é
alpha = ,v1=(1,0,0),;v2=(1,1,0),;v3=(1,1,-4)
Na base alpha, a matriz de T é diagonal com os autovalores na diagonal:
[T]alpha^alpha = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

T é diagonalizável.
Base de autovetores:
alpha=(1,0,0),,(1,1,0),,(1,1,-4).
Matriz de T em alpha:
[T]alpha^alpha = diag(1,3,-1)

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