Seja T: R^3 R^3 um operador linear dado por T(x, y, z)=(x+2 y+z, 3 y+z,-z).
Determine o polinômio característico de T.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de Tcolon R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (x + 2y + z,;3y + z,;-z)
Para isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a matriz A de T na base canônica.
  2. Calcular det(A - lambda I), que é o polinômio característico.

Passo 2

Vamos calcular T(ei) para a base canônica e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1):
T(e1) = T(1,0,0) = (1,0,0), T(e2)= T(0,1,0) = (2,3,0), T(e3)= T(0,0,1) = (1,1,-1)
Daí a matriz de T é
A = 1 & 2 & 1 0 & 3 & 1 0 & 0 & -1

Passo 3

Observamos que A é triangular superior. Seus elementos da diagonal são 1, 3 e -1. Para uma matriz triangular, o determinante de A-lambda I é o produto dos elementos da diagonal de A-lambda I.

Passo 4

Escrevendo A - lambda I e tomando o determinante:
A - lambda I = 1-lambda & 2 & 1 0 & 3-lambda & 1 0 & 0 & -1-lambda ,
logo
det(A - lambda I) = (1-lambda),(3-lambda),(-1-lambda)

Passo 5

Se quisermos o formato mais comum det(lambda I - A), basta trocar o sinal de cada fator:
det(lambda I - A) =(lambda-1)(lambda-3)(lambda+1)

Resposta

O polinômio característico de T é
p(lambda)=det(A-lambda I)=(1-lambda)(3-lambda)(-1-lambda)
Equivalente (na forma det(lambda I - A)) é
p(lambda)=(lambda-1)(lambda-3)(lambda+1)

Exercícios relacionados