Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por
T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y)
Determinar os autovalores e os autovetores de T;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear
Tcolon R^2toR^2, T(x,y) = (2x+2y,;x+3y)
Vamos representar T pela sua matriz na base canônica, depois calcular o polinômio característico para obter os autovalores e, em seguida, resolver os sistemas (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

A matriz associada a T na base canônica é
A = 2 & 2 1 & 3
O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det!2-lambda & 2 1 & 3-lambda = (2-lambda)(3-lambda) - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4

Passo 3

Resolvendo
lambda^2 - 5lambda + 4 = 0
obtemos as raízes
lambda1 = 1, lambda2 = 4

Passo 4

Para lambda1 = 1, montamos (A - I)v = 0:
2-1 & 2 1 & 3-1 x y = 1 & 2 1 & 2 x y = 0 0
Da primeira equação x + 2y = 0 segue x = -2y. Logo, os autovetores associados a lambda1=1 são todos os múltiplos de (-2,1).

Passo 5

Para lambda2 = 4, montamos (A - 4I)v = 0:
2-4 & 2 1 & 3-4 x y = -2 & 2 1 & -1 x y = 0 0
Da primeira equação -2x + 2y = 0 segue y = x. Logo, os autovetores associados a lambda2=4 são todos os múltiplos de (1,1).

Resposta

lambda1 = 1 com autovetores proporcionais a (-2,1).
lambda2 = 4 com autovetores proporcionais a (1,1).

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