Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y) Determinar os autovalores e os autovetores de T; Passo 1O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear Tcolon R^2toR^2, T(x,y) = (2x+2y,;x+3y) Vamos representar T pela sua matriz na base canônica, depois calcular o polinômio característico para obter os autovalores e, em seguida, resolver os sistemas (A-lambda I)v=0 para cada lambda. Passo 2A matriz associada a T na base canônica é A = 2 & 2 1 & 3 O polinômio característico é det(A - lambda I) = det!2-lambda & 2 1 & 3-lambda = (2-lambda)(3-lambda) - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4 Passo 3Resolvendo lambda^2 - 5lambda + 4 = 0 obtemos as raízes lambda1 = 1, lambda2 = 4 Passo 4Para lambda1 = 1, montamos (A - I)v = 0: 2-1 & 2 1 & 3-1 x y = 1 & 2 1 & 2 x y = 0 0 Da primeira equação x + 2y = 0 segue x = -2y. Logo, os autovetores associados a lambda1=1 são todos os múltiplos de (-2,1). Passo 5Para lambda2 = 4, montamos (A - 4I)v = 0: 2-4 & 2 1 & 3-4 x y = -2 & 2 1 & -1 x y = 0 0 Da primeira equação -2x + 2y = 0 segue y = x. Logo, os autovetores associados a lambda2=4 são todos os múltiplos de (1,1). Resposta lambda1 = 1 com autovetores proporcionais a (-2,1). lambda2 = 4 com autovetores proporcionais a (1,1). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSeja T: R^2 R^2 o operador linear definido por T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y) Existe uma base do R^2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal? Se sim, calcule essa base e a matiz de T nessa base. Seja T: R^2 R^2 uma transformaçào linear que triplien a comprimento do vetor u=(2,1) e dobra o comprimento do vetor v=(1,2). sem alterar as direçòes nem inverter os sentidos. Qual a matriz do operador T na base (2,1),(1,2) ? Seja T: R^3 R^3 o operador linear definido por T(x, y)=(x,-2 x-y, 2 x+y+2 z) Existe uma base do R^3 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal? Se sim, calcule essa base e a matiz de T nessa base. Sejam A e B matrizes 3 times 3, com B invertível. Prove que A e B^-1 A B têm o mesmo traço.