Seja T: R^3 R^3 o operador linear definido por
T(x, y)=(x,-2 x-y, 2 x+y+2 z)
Existe uma base do R^3 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal? Se sim, calcule essa base e a matiz de T nessa base.

Passo 1

O enunciado pede para ver se o operador linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(x,,-2x-y,,2x+y+2z)
é diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matriz: precisamos achar autovalores e autovetores para montar uma base que deixe a matriz de T diagonal.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica e1,e2,e3. Como
T(e1)=T(1,0,0)=(1,-2,2), T(e2)=(0,-1,1), T(e3)=(0,0,2),
a matriz é
A= 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 0 2 & 1 & 2

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 0 & 0 -2 & -1-lambda & 0 2 & 1 & 2-lambda =(1-lambda)(-1-lambda)(2-lambda)
Logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=-1 e lambda3=2, todos distintos.

Passo 4

Como os autovalores são distintos, A é diagonalizável. Vamos achar um autovetor para cada lambda.
Para lambda=1:
A-I= 0 & 0 & 0 -2 & -2 & 0 2 & 1 & 1 ,
o sistema dá
-2x-2y=0, 2x+y+z=0
de onde x=-y e z=y. Tomando y=1 obtemos
v1=(-1,,1,,1)
Para lambda=-1:
A+I= 2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 2 & 1 & 3 ,
o sistema dá x=0 e y=-3z. Tomando z=1 obtemos
v2=(0,,-3,,1)
Para lambda=2:
A-2I= -1 & 0 & 0 -2 & -3 & 0 2 & 1 & 0 ,
o sistema dá x=0, y=0, e z livre. Tomando z=1 obtemos
v3=(0,,0,,1)

Passo 5

Os vetores v1,v2,v3=(-1,1,1),,(0,-3,1),,(0,0,1) são autovetores associados a 1, -1 e 2, respectivamente, e formam base de R^3. Nessa base a matriz de T é diagonal com entradas
1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2

Resposta

Base que diagonaliza T:
B=(-1,1,1),;(0,-3,1),;(0,0,1)
Matriz de T em B:
diag(1,-1,2)

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