Existe uma base do em relação à qual a matriz do operador é diagonal? Se sim, calcule essa base e a matiz de nessa base.
Passo 1
O enunciado pede para ver se o operador linear
é diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matriz: precisamos achar autovalores e autovetores para montar uma base que deixe a matriz de diagonal.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de na base canônica . Como
Logo os autovalores são lambda1=1, lambda2=-1 e lambda3=2, todos distintos.
Passo 4
Como os autovalores são distintos, A é diagonalizável. Vamos achar um autovetor para cada lambda.
Para lambda=1:
A-I= 0 & 0 & 0 -2 & -2 & 0 2 & 1 & 1 ,
o sistema dá
-2x-2y=0, 2x+y+z=0
de onde x=-y e z=y. Tomando y=1 obtemos
v1=(-1,,1,,1)
Para lambda=-1:
A+I= 2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 2 & 1 & 3 ,
o sistema dá x=0 e y=-3z. Tomando z=1 obtemos
v2=(0,,-3,,1)
Para lambda=2:
A-2I= -1 & 0 & 0 -2 & -3 & 0 2 & 1 & 0 ,
o sistema dá x=0, y=0, e z livre. Tomando z=1 obtemos
v3=(0,,0,,1)
Passo 5
Os vetores v1,v2,v3=(-1,1,1),,(0,-3,1),,(0,0,1) são autovetores associados a 1, -1 e 2, respectivamente, e formam base de R^3. Nessa base a matriz de T é diagonal com entradas