Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por
T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y)
Existe uma base do R^2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal? Se sim, calcule essa base e a matiz de T nessa base.

Passo 1

Estamos diante de um operador linear Tcolon R^2to R^2 definido por
T(x,y) = (2x+2y,;x+3y)
Queremos verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma base de R^2 formada por autovetores de T e a matriz diagonal que representa T nessa base. Para isso, vamos escrever a matriz de T na base canônica, calcular seus autovalores e autovetores.

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1), a matriz de T é
A = 2 & 2 [6pt] 1 & 3
Calcamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det!2-lambda & 2 [4pt]1 & 3-lambda = (2-lambda)(3-lambda) - 2cdot1 = lambda^2 -5lambda +4
As raízes são lambda1=1 e lambda2=4, distintos, logo A (e portanto T) é diagonalizável.]

Passo 3

Encontramos agora os autovetores:
Para resolvemos
que dá . Tomando , temos um autovetor
Para resolvemos
que dá , i.e.\ . Tomando , obtemos
]

Passo 4

Os vetores v1 e v2 são linearmente independentes, formam uma base de R^2. Nessa base de autovetores
B = ,(-2,1),;(1,1)
a matriz de T é diagonal, com as entradas diagonais iguais aos autovalores correspondentes:
[T]B = 1 & 0 [4pt] 0 & 4
]

Resposta

A base de R^2 que diagonaliza T é
B = ,(-2,1),;(1,1)
e a matriz de T nessa base é
[T]B = 1 & 0 [4pt] 0 & 4 ]

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