Seja
o operador linear definido por
Existe uma base do
em relação à qual a matriz do operador
é diagonal? Se sim, calcule essa base e a matiz de
nessa base.
Passo 1
Estamos diante de um operador linear
definido por
Queremos verificar se
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma base de
formada por autovetores de
e a matriz diagonal que representa
nessa base. Para isso, vamos escrever a matriz de
na base canônica, calcular seus autovalores e autovetores.
Passo 2
Na base canônica
, a matriz de
é
Calcamos o polinômio característico:
As raízes são
e
, distintos, logo
(e portanto
) é diagonalizável.]
Passo 3
Encontramos agora os autovetores:
Para
resolvemos
que dá
. Tomando
, temos um autovetor
Para
resolvemos
que dá
, i.e.\
. Tomando
, obtemos
]
Passo 4
Os vetores
e
são linearmente independentes, formam uma base de
. Nessa base de autovetores
a matriz de
é diagonal, com as entradas diagonais iguais aos autovalores correspondentes:
]
Resposta
A base de
que diagonaliza
é
e a matriz de
nessa base é