Sejam A e B matrizes 3 times 3, com B invertível. Prove que A e B^-1 A B têm o mesmo traço.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes 3times3 e B é invertível. Queremos mostrar que elas são semelhantes, ou seja, que B^-1AB tem o mesmo traço que A. Para isso vamos usar a propriedade cíclica do traço: para duas matrizes quadradas compatíveis,
tr(X Y)=tr(Y X)

Passo 2

Aplicamos a propriedade cíclica ao produto de três matrizes, lembrando que se podemos “rodar” os fatores em volta do traço:
trl(B^-1ABr) =tr!l((B^-1A),Br) =tr!l(B(B^-1A)r) =tr!l((BB^-1)Ar) =tr(I,A) =tr(A)

Passo 3

Chegamos, portanto, a
trl(B^-1ABr) =tr(A),
ou seja, A e B^-1AB têm o mesmo traço.

Resposta

tr(A) = trl(B^-1ABr).

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